[Limites] Como resolver raiz dentro de raiz ?

por **natyncb** » Qui Abr 12, 2012 00:31

Como solucionar esse tipo de limite com raiz??

$\lim_{x\rightarrow\infty} \sqrt[]{x +}\sqrt[]{x +}\sqrt[]{x} - \sqrt[]{x}$

É a minha primeira vez no fórum, estou com uma certa dificuldade para montar essa fórmula. No exemplo acima, é uma raiz dentro da outra .. No caso, os três primeiros 'x', depois vem diminuindo essa última raiz. Deu pra entender??
Estou enviando anexo uma foto que tirei do meu caderno com a fórmula correta. rs

Estou estudando Limites no período da faculdade, e deparei com esse exemplo na minha lista de exercicios.
Não sei como saio disso .. rs

por **LuizAquino** » Qui Abr 12, 2012 12:33

natyncb escreveu:Como solucionar esse tipo de limite com raiz??

$\lim_{x\rightarrow\infty} \sqrt[]{x +}\sqrt[]{x +}\sqrt[]{x} - \sqrt[]{x}$

É a minha primeira vez no fórum, estou com uma certa dificuldade para montar essa fórmula. No exemplo acima, é uma raiz dentro da outra .. No caso, os três primeiros 'x', depois vem diminuindo essa última raiz. Deu pra entender??
Estou enviando anexo uma foto que tirei do meu caderno com a fórmula correta. rs

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Estou estudando Limites no período da faculdade, e deparei com esse exemplo na minha lista de exercicios.
Não sei como saio disso .. rs

O limite desejado é:

$\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x}$

Para escrever esse limite aqui no fórum, use o código:

Código: Selecionar todos: [tex]\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x}[/tex]

Para começar a resolver, multiplique e divida a expressão dentro do limite por $\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}$ . Nesse caso, temos que:

$\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\left(\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}\right)}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}}$

$= \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\left(\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}\right)^2 - \left(\sqrt{x}\right)^2}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}}$

$= \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}}$

Agora divida o numerador e o denominador por $\sqrt{x}$ . Nesse caso, temos que:

$= \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\left(\sqrt{x + \sqrt{x}}\right):\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}\right):\sqrt{x}}$

$= \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sqrt{\frac{x + \sqrt{x}}{x}}}{\sqrt{\frac{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}{x}} + 1}$

$= \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sqrt{1 + \sqrt{\frac{x}{x^2}}}}{\sqrt{1 + \sqrt{\frac{x + \sqrt{x}}{x^2}}} + 1}$

$= \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}}{\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^4}}}} + 1}$

$= \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}}{\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^3}}}} + 1}$

Agora tente concluir o exercício.

por **natyncb** » Qui Abr 12, 2012 12:45

Meio caminho andando, agora vou tentar resolver aqui ..
Muito obrigada pela ajuda !

por **natyncb** » Qui Abr 12, 2012 15:26

Fiquei quebrando a cabeça aqui tentando resolver o restante da questão.
Consegui encontrar 1 como resposta.
Será que está certo, ou devo refazer tudo ?? hahaaa

por **LuizAquino** » Qui Abr 12, 2012 17:48

natyncb escreveu:Fiquei quebrando a cabeça aqui tentando resolver o restante da questão.
Consegui encontrar 1 como resposta.
Será que está certo, ou devo refazer tudo ??

A reposta não é 1.

Lembre-se que:

$\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x} = 0$

$\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x^3} = 0$

Desse modo, temos que:

$\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}}{\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^3}}}} + 1} = \dfrac{\sqrt{1 + \sqrt{0}}}{\sqrt{1 + \sqrt{0 + \sqrt{0}}} + 1}$

$= \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} + 1} = \dfrac{1}{2}$

por **doleand** » Ter Ago 21, 2012 23:43

não consegui entender o q foi feito ao certo... se puder me esclarecer...

por **LuizAquino** » Qua Ago 22, 2012 07:41

doleand escreveu:não consegui entender o q foi feito ao certo... se puder me esclarecer...

Exatamente que parte você não entendeu?

por **doleand** » Qua Ago 22, 2012 16:11

Agora divida o numerador e o denominador por raiz de x, (desta parte em diante)

por **LuizAquino** » Qui Ago 23, 2012 19:09

doleand escreveu:Agora divida o numerador e o denominador por raiz de x, (desta parte em diante)

Pois bem, temos o seguinte limite:

$\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\left(\sqrt{x + \sqrt{x}}\right):\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}\right):\sqrt{x}}$

Vamos desenvolver o numerador. Note que escrever $\left(\sqrt{x + \sqrt{x}}\right):\sqrt{x}$ é o mesmo que escrever $\frac{\sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ . Mas lembrando de propriedades de radiciação, sabemos que $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ . Desse modo, temos que:

$\frac{\sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} = \sqrt{\frac{x + \sqrt{x}}{x}} = \sqrt{\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}} = \sqrt{1 + \frac{\sqrt{x}}{x}}$

Por outro lado, sabemos que $\frac{\sqrt{a}}{b} = \sqrt{\frac{a}{b^2}}$ . Desse modo, podemos escrever que:

$\sqrt{1 + \frac{\sqrt{x}}{x}} = \sqrt{1 + \sqrt{\frac{x}{x^2}}} = \sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}$

Em resumo, temos que $\left(\sqrt{x + \sqrt{x}}\right):\sqrt{x}$ é equivalente a $\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}$

Agora tente usar ideias semelhantes para desenvolver o denominador.

por **doleand** » Sex Ago 24, 2012 00:32

muito obrigada vc esclareceu algumas pendencias de anos atrás,dúvidas q eu nem sabia que tinha...valeu mesmo, brigadão!!! :y:

por **LuizAquino** » Sex Ago 24, 2012 07:50

doleand escreveu:muito obrigada vc esclareceu algumas pendencias de anos atrás,dúvidas q eu nem sabia que tinha...valeu mesmo, brigadão!!!

Seria interessante que você fizesse uma revisão dos conteúdos de Matemática dos níveis fundamental e médio. Com certeza isso ajudará no seu aprendizado de Cálculo.

Por exemplo, assista as videoaulas "Matemática Zero - Aula 9 - Potenciação", "Matemática Zero - Aula 10 - Radiciação", "Matemática Zero - Aula 11 - Fatoração" e "Matemática Zero - Aula 12 - Racionalização". Todas essas videoaulas estão disponíveis no canal do Nerckie no YouTube:

http://www.youtube.com/nerckie