QUESTÃO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA COM LOGARÍTIMOS

por **saulfiterman** » Seg Ago 20, 2012 21:26

Questão 45 do vestibular da baiana de medicina 2012.2 :
Consegui resolver apenas a parte da matemática financeira mas não consegui desenvolver o logaritmo para chegar na resposta correta. Peço encarecidamente a ajuda de alguém para resolver essa questão.

Enquanto uma lâmpada incandescente converte em luz apenas 5% de energia elétrica que consome, as de LED converte até 40%, trazendo benefícios evidentes ao meio ambiente. O único inconveniente é o fato de a lâmpada de LED ainda custar mais caro - US$45,00 - apesar de seu preço cair pela metade a cada dois anos.
Admitindo-se que uma lâmpada halógena incandescente custa US$1,60 e tem seu preço aumentado em 25% a cada dois anos, pode-se estimar que os dois tipos de lâmpada serão vendidos pelo mesmo valor, em um tempo t anos, que pode ser aproximado pela expressão :

A alternativa correta da questão é 04) 2(2 + log(9/2) na base 5/2)

PS. : não consegui transformar a equação do log através do programa Latex mas espero que esteja compreensível.
Obrigado

por **LuizAquino** » Seg Set 24, 2012 10:50

saulfiterman escreveu:Questão 45 do vestibular da baiana de medicina 2012.2 :
Consegui resolver apenas a parte da matemática financeira mas não consegui desenvolver o logaritmo para chegar na resposta correta. Peço encarecidamente a ajuda de alguém para resolver essa questão.

Enquanto uma lâmpada incandescente converte em luz apenas 5% de energia elétrica que consome, as de LED converte até 40%, trazendo benefícios evidentes ao meio ambiente. O único inconveniente é o fato de a lâmpada de LED ainda custar mais caro - US$45,00 - apesar de seu preço cair pela metade a cada dois anos.
Admitindo-se que uma lâmpada halógena incandescente custa US$1,60 e tem seu preço aumentado em 25% a cada dois anos, pode-se estimar que os dois tipos de lâmpada serão vendidos pelo mesmo valor, em um tempo t anos, que pode ser aproximado pela expressão :

A alternativa correta da questão é 04) 2(2 + log(9/2) na base 5/2)

Considere aqui que T é um período de 2 anos. Desse modo, T = 1 representa 2 anos. Já T = 2 representa 4 anos. E assim sucessivamente.

Pelos dados da questão, temos temos que a cada período T o valor da lâmpada de LED será $\frac{45}{2^T}$ . Por outro lado, a cada período T o valor da lâmpada incandescente será 1,6(1 + 0,25)^T

. Desejamos descobrir para que período t esses valores serão iguais. Temos então que:

$\dfrac{45}{2^T} = 1,6(1 + 0,25)^T$

$\dfrac{45}{\dfrac{16}{10}} = 2^T\cdot \left(\dfrac{5}{4}\right)^T$

$\dfrac{225}{8} = \left(\dfrac{5}{2}\right)^T$

$\log_{\dfrac{5}{2}} \dfrac{225}{8} = T$

$\log_{\dfrac{5}{2}} \dfrac{5^2 \cdot 3^2}{2^3} = T$

$\log_{\dfrac{5}{2}} \left(\dfrac{5^2}{2^2}\cdot \dfrac{3^2}{2}\right) = T$

$\log_{\dfrac{5}{2}} \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + \log_{\dfrac{5}{2}} \dfrac{9}{2} = T$

$2 + \log_{\dfrac{5}{2}} \dfrac{9}{2} = T$

Lembrando então que T aqui representa um período de 2 anos, como o exercício pede o valor em anos, temos que dobrar esse valor de T, obtendo assim:

$2\left(2 + \log_{\dfrac{5}{2}} \dfrac{9}{2}\right) = 2T$