Regra de L'hospital

por **samra** » Dom Ago 19, 2012 18:37

Olá, alguém me ajuda resolver essa questao. por favor. (Usando L'hospital)
indeterminação do tipo $\infty$ - $\infty$

A resposta é 1/2, a minha está dando 0 *-)

Eu igualei os denominadores e apliquei L'hopital , derivando o numerador e o denominador (logicamente sem usar a regra da derivada para quociente).
Alguém me ajuda a visualizar onde errei?

att. Sammy

Ps.: limite em anexo

por **e8group** » Dom Ago 19, 2012 19:58

Note que ,

$\lim_{x\to1}\left(\frac{x}{x-1} - \frac{1}{ln x}\right) = \\ \\ =\lim_{x\to 1}\left(\frac{x ln(x) - (x-1)}{(x-1)ln(x)} \right)$ .

Agora temos uma indeterminação 0/0 mas derivando teremos outra indeterminação 0/0 , ou seja vamos aplicar" L'hospital " duas vezes assim segue ,

$\lim_{x\to 1}\left(\frac{x ln(x) - (x-1)}{(x-1)ln(x)} \right) = \lim_{x\to1} \left[\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}\left( \frac{x ln(x) - (x-1)}{(x- 1)ln(x)}\right ) \right ]$ .Assim , obtemos :

$\lim_{x\to1}\left(\frac{x}{x-1} - \frac{1}{ln x}\right) =1/2 .$

Qualquer dúvida comente .

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