[volume do cubo] Soma dos volumes das infinitas caixas

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[volume do cubo] Soma dos volumes das infinitas caixas

Mensagempor Priscilamoraes307 » Sex Ago 10, 2012 23:14

Considere a seguinte figura que mostra uma sequência de quadrados, em que o lado L do primeiro é o dobro do lado do segundo; o lado do segundo é o dobro do lado do terceiro e assim indefinidamente.
Esses quadrados representam as bases de caixas retangulares, todas com 1 m de altura.

Nessas condições, é CORRETO afirmar que a soma S dos volumes de todas essas infinitas caixas é
A) infinita.
B) um número finito, porém muito grande.
C) um número entre 2L2 e 3L2.
D) um número entre L2 e 2L2.

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Re: [volume do cubo] Somas do volumes das infinitas caixas

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Ago 11, 2012 00:28

Sim, você deve.
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Re: [volume do cubo] Somas do volumes das infinitas caixas

Mensagempor Russman » Sáb Ago 11, 2012 16:08

O volume da n-ésima caixa é dado por

V_n=L_n^3.

Para n=1 temos L_1=L. Para n=2, temos L_2 = L/2. Para n=3, temos L_3 = (L/2)/2 = L/4. Assim, sucessivamente. Portanto, podemos supor que

L_n = L\left( \frac{1}{2}\right)^{(n-1)}

e, disso,

V_n = L^3\left( \frac{1}{8}\right)^{(n-1)}.

Esta é uma P.G. de razão 1/8<1 e primeiro termo L^3. Logo, efetuando a soma infinita de seus termos, obtemos

S = \frac{L^3}{1-\frac{1}{8}} = \frac{8}{7}L^3.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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