Radiciação - Dúvida

por **Danilo** » Qui Ago 09, 2012 22:37

Não estou conseguindo concluir um exercício de radiciação, lá vai:

$\sqrt[]{2} \cdot \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2}} \cdot \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2}}} \cdot \sqrt[]{2 - \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2}}}$

Bom, vou postar aqui o que eu fiz e quero que por favor me digam onde estou errando !

$\sqrt[]{ 2 \cdot \left(2 + \sqrt[]{2} \right) \cdot \left(2 + \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2} } \right) \cdot \left(2 - \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2}} \right)}$

$\sqrt[]{ \left(4 + 2 \sqrt[]{2} \right) \cdot \left(2 + \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2} } \right) \cdot \left(2 - \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2}} \right)}$

$\sqrt[]{\left(4 + 2 \sqrt[]{2} \right) \cdot \left[{\left(2 \right)}^{2} - {\left(\sqrt[]{2 + \sqrt[]{2}} \right)}^{2}\right] }$

$\sqrt[]{\left(4 + 2 \sqrt[]{2} \right) \left(4 - \sqrt[]{6 + 4 \sqrt[]{2}} \right)}$

Bom, depois daqui eu aplico a distributiva e multiplico normalmente mas não consigo chegar no resultado ! A resposta é 2... Errei até ali? Grato desde já

por **MarceloFantini** » Qui Ago 09, 2012 23:24

Note que

$2 \cdot \left( 2 + \sqrt{2} \right) \cdot \left( 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right) \cdot \left( 2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right)$
$= 2 \cdot \left( 2 + \sqrt{2} \right) \cdot \left( 2^2 - \left( \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right)^2 \right)$
$= 2 \cdot \left( 2 + \sqrt{2} \right) \cdot \left( 4 - (2 + \sqrt{2}) \right)$
$= 2 \cdot \left( 2 + \sqrt{2} \right) \cdot \left( 2 - \sqrt{2} \right)$
$= 2 \cdot \left( 2^2 - (\sqrt{2})^2 \right)$
$= 2 \cdot (4 - 2)$
$= 2 \cdot 2 = 4$ ,

daí

$\sqrt{2 \cdot \left( 2 + \sqrt{2} \right) \cdot \left( 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right) \cdot \left( 2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right)}$
$\sqrt{4} = 2$ .

por **Danilo** » Sex Ago 10, 2012 00:04

MarceloFantini escreveu:Note que

$2 \cdot \left( 2 + \sqrt{2} \right) \cdot \left( 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right) \cdot \left( 2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right)$
$= 2 \cdot \left( 2 + \sqrt{2} \right) \cdot \left( 2^2 - \left( \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right)^2 \right)$
$= 2 \cdot \left( 2 + \sqrt{2} \right) \cdot \left( 4 - (2 + \sqrt{2}) \right)$
$= 2 \cdot \left( 2 + \sqrt{2} \right) \cdot \left( 2 - \sqrt{2} \right)$
$= 2 \cdot \left( 2^2 - (\sqrt{2})^2 \right)$
$= 2 \cdot (4 - 2)$
$= 2 \cdot 2 = 4$ ,

daí

$\sqrt{2 \cdot \left( 2 + \sqrt{2} \right) \cdot \left( 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right) \cdot \left( 2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right)}$
$\sqrt{4} = 2$ .

Valeu!

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