Fatoração de polinômios

por **Danilo** » Sáb Jul 28, 2012 12:45

Mostrar, para n ímpar positivo, que ${x}^{n} + {y}^{n}= \left(x+y \right)\left({x}^{n-1}-{x}^{n-2}y+...+{y}^{n-1} \right)$

Bom, eu tenho '' a prova'' em um livro, só que eu não entendi a resolução. O exercício é parecido com um outro que postei aqui.

''De fato, como n é ímpar podemos escrever ${x}^{n}+{y}^{n} = {x}^{n} -\left({-y}^ \right)^{n} \right)$ e aplicar a fórmula do item anterior, ou seja,

${x}^{n}-{y}^{n}=\left(x-y \right)\left({x}^{n-1}+{x}^{n-2}y+...+{y}^{n-1} \right)$ , colocando -y no lugar de y.

Vejamos:

${x}^{n}+{y}^{n} = {x}^{n}-\left({-y}^{n} \right)=\left(x-\left(-y \right) \right)\left({x}^{n-1}+{x}^{n-2}\left(-y \right)+...+\left({-y}\right)^{n-1} \right)\Rightarrow {x}^{n}+{y}^{n}=\left(x+y \right)\left({x}^{n-1}-{x}^{n-2}y+...+{y}^{n-1} \right)$

Bom, eu entendi que o cara substituiu y por - y entao x - (-y) tem de ficar positivo. Ok, mas nessa parte ${x}^{n}+{y}^{n}=\left(x+y \right)\left({x}^{n-1}-{x}^{n-2}y+...+{y}^{n-1} \right)$ eu não entendo por que no final fica $+{y}^{n-1}$ sendo que $+\left({-y}\right)^{n-1} \right)$ para mim é igual a $-{y}^{n-1}$ . Eu sei que se for par o número sempre será positivo. Mas quando for ímpar (que é o caso, não). Estou errado? Ou é o livro? Ou entendi errado? Grato desde já !