Parábola

por **Claudin** » Ter Jun 12, 2012 20:38

Determine o vértice, a equação do eixo, o foco e a diretriz da parábola:

4x^2+4x+3y-2=0

Não consegui resolver esse exercício.

por **Claudin** » Qui Jun 28, 2012 15:40

Se alguém puder me ajudar, ainda não consegui solucionar, tem uns 15 dias q ja postei...
obrigado

por **DanielFerreira** » Sex Jun 29, 2012 00:30

Claudin escreveu:Determine o vértice, a equação do eixo, o foco e a diretriz da parábola:

Não consegui resolver esse exercício.

Vértice:

$2x + 1 = 0 ====> x = - \frac{1}{2}$

y - 1 = 0 ======> y = 1

Portanto,
$V(- \frac{1}{2}, 1)$

Claudin,
tente as outras, caso não consiga, retorne com as dúvidas/tentativas!!

Aguardo retorno!

Daniel F.

por **Claudin** » Seg Jul 02, 2012 19:17

Tendo em vista o foco $(-\frac{1}{2},1)$ , para achar o foco
teria que ser feito:

2p=-3

$p=-\frac{3}{2}$

Porém não sei como prosseguir para calcular o Foco, pois já vi formas diferentes como por exemplo:
$(x_o - \frac{p}{2}, y_o)$
$(x_o + \frac{p}{2}, y_o)$
$(x_o, y_o-\frac{p}{2})$

por **Claudin** » Qui Jul 05, 2012 17:22

Ainda não consegui como calcular o Foco, pois o modo como calcular muda de questão para questão. Então gostaria de aprender a metodologia correta para resolver qualquer exercício, como postei no exemplo aqui em cima, as formas que já vi.

por **Claudin** » Qui Jul 05, 2012 19:48

Achei resultados diferentes do gabarito

meus resultados foram:

Foco: $(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$

Diretriz: $y=-\frac{1}{2}$

Equação do eixo: 2x+1=0

O que está incoerente com o gabarito seria o foco e a diretriz.

Aguardo alguma resposta se possível.

por **Claudin** » Seg Jul 09, 2012 12:21

Meus resultados estão dando diferente do gabarito.
Alguém pode ajudar?

por **Claudin** » Ter Jul 17, 2012 03:04

Desde o dia 12 de junho
e até hoje não conseguir sanar minha dúvida nesse exercício

por **Claudin** » Sex Jul 20, 2012 03:08

ate hoje nao consegui entender o exercício.

por **DanielFerreira** » Sex Jul 20, 2012 21:33

Claudin escreveu:Determine ..., o foco e a... parábola:

danjr5 escreveu:...

$|2p| = 3 ====> |p| = \frac{3}{2} ====> \left | \frac{p}{2} \right | = \frac{3}{4}$

$x_f = x_o = - \frac{1}{2}$

$y_f = y_o - \left | \frac{p}{2} \right | ====> y_f = 1 - \frac{3}{4} ====> y_f = \frac{1}{4}$

Daí,
$\fboxed{F = \left (- \frac{1}{2},\frac{1}{4} \right )}$

Claudin,
note que o foco é dado por F = (x_f, y_f)

onde $y_f = y_o - \left | \frac{p}{2} \right |$ , uma vez que, o eixo de simetria é paralelo ao eixo

, a grosso modo,

não varia.

Espero ter ajudado, a propósito, a idéia é essa, caso minha resposta não esteja de acordo com o gabarito, devo ter cometido algum erro em conta.

Aguardo retorno!

Desculpe a demora, rsrsr.

por **DanielFerreira** » Sex Jul 20, 2012 21:39

Diretriz:

$y_d = y_o + \left |\frac{p}{2} \right |$

$y_d = 1 + \frac{3}{4}$

$y_d = \frac{7}{4}$

Daí,
$d: y - \frac{7}{4} = 0$

por **Claudin** » Seg Jul 23, 2012 21:03

danjr5 escreveu:

$|2p| = 3 ====> |p| = \frac{3}{2} ====> \left | \frac{p}{2} \right | = \frac{3}{4}$

$x_f = x_o = - \frac{1}{2}$

$y_f = y_o - \left | \frac{p}{2} \right | ====> y_f = 1 - \frac{3}{4} ====> y_f = \frac{1}{4}$

Danjr, primeiramente observei que você igualou 2p=3

E de acordo com a equação não seria 2p=-3

?

Somente com esse resultado mudaria tudo.
A resposta que você deu também não bateu com o gabarito.
Se puder analisar novamente e considerar o que eu falei.

Abraço
Obrigado

por **Claudin** » Qua Jul 25, 2012 16:30

Desculpe Danjr.

Você estava correto, seria -2p=-3

nao é?

Ai os resultados seriam como você mesmo expressou acima, porém os resultados continuam diferentes do gabarito como postei acima, mas mesmo assim acho que está correto, pois não tem erro na resolução eu acho.

por **DanielFerreira** » Qui Jul 26, 2012 23:03

Claudin,
boa noite!
Pode postar o gabarito?

por **Claudin** » Sex Jul 27, 2012 00:27

Algumas respostas deram iguais, e outras não.

Vertice: $(-\frac{1}{2},1)$

Equação do eixo: 2x+1

Foco: $(-\frac{1}{2},\frac{13}{16})$

Diretriz: 16y-19=0

por **Claudin** » Seg Set 03, 2012 23:59

danjr5 escreveu:
Claudin escreveu:Determine o vértice, a equação do eixo, o foco e a diretriz da parábola:

Não consegui resolver esse exercício.

Vértice:

$2x + 1 = 0 ====> x = - \frac{1}{2}$

Portanto,
$V(- \frac{1}{2}, 1)$

Claudin,
tente as outras, caso não consiga, retorne com as dúvidas/tentativas!!

Aguardo retorno!

Daniel F.

Essa simplificação de 4x²+4x ai, esta correta?

por **Claudin** » Ter Set 04, 2012 00:32

Refiz e deu um resultado completamente diferente

4x^2+4x+3y-2=0

Portanto

Certo?

Aguardo uma resposta, e caso esteja correto, postarei uma nova solução.

por **LuizAquino** » Ter Set 04, 2012 10:22

Claudin escreveu:Determine o vértice, a equação do eixo, o foco e a diretriz da parábola:

Note que:

$4\left(x^2 + x\right) + 3y - 2 = 0$

$4\left[\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right] + 3y - 2 = 0$

$4\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 3y - 3 = 0$

$y - 1 = -\frac{4}{3}\left(x + \frac{1}{2}\right)^2$

Temos então que o vértice da parábola é dado $V=\left(-\frac{1}{2},\,1\right)$ .

Já o eixo dessa parábola será paralelo ao eixo y, sua equação será dada por x = x_v

. Desse modo, temos que a equação do eixo será $x = -\frac{1}{2}$ .

Para determinar o foco e a diretriz da parábola precisamos calcular o parâmetro p. Como a concavidade da parábola é para baixo (devido a presença do termo -4/3 multiplicando (x + 1/2)²), temos a relação:

$-\frac{1}{4p} = -\frac{4}{3}$

$p = \frac{3}{16}$

Ainda lembrando que a concavidade da parábola é para baixo, temos que seu foco será dado por $F = \left(x_v,\,y_v-p\right)$ (onde x_v

e

são as coordenadas x e y do vértice). Sendo assim, temos que $F = \left(-\frac{1}{2},\,\frac{13}{16}\right)$ .

Por fim, como a parábola tem eixo paralelo ao eixo y e sua concavidade é para baixo, temos que sua diretriz será dada por y = y_v + p

. Sendo assim, temos que a diretriz tem equação $y = \frac{19}{16}$ .

por **Claudin** » Sex Set 07, 2012 22:14

Agora sim compreendi.

Mas a parte do Foco ainda não compreendi o porque de não ser:

$-2p=-\frac{4}{3}$

No caso resultaria em

$p=\frac{2}{3}$

por **LuizAquino** » Sáb Set 08, 2012 15:23

Claudin escreveu:Agora sim compreendi.

Mas a parte do Foco ainda não compreendi o porque de não ser:

$-2p=-\frac{4}{3}$

No caso resultaria em

$p=\frac{2}{3}$

Há dois detalhes:

1) em alguns livros, a equação da parábola é montada de tal forma que d(F, V) = d(V, d) = p (onde F é o foco, V é o vértice e d é a diretriz). Já em outros livros, a equação da parábola é montada de tal forma que d(F, V) = d(V, d) = p/2. Se você está estudando por esse segundo tipo de livro, então a equação de uma parábola com vértice $V = (x_v,\,y_v)$ e concavidade para baixo tem o formato $y - y_v = -\frac{1}{2p}(x-x_v)^2$ . Já se você está estudando pelo primeiro tipo, então essa mesma parábola tem equação no formato $y - y_v = -\frac{1}{4p}(x-x_v)^2$ . Note que foi esse formato que usei na minha resolução.

2) você está confundido o caso da parábola no exercício (que tem concavidade para baixo) com o caso da parábola que tem concavidade para esquerda. Naquele segundo tipo de livro, a equação de uma parábola com vértice $V = (x_v,\,y_v)$ e concavidade para esquerda tem o formato -2p(x - x_v) = (y-y_v)^2

(ou simplesmente $x - x_v = -\frac{1}{2p}(y-y_v)^2$ ).

por **Claudin** » Sáb Set 08, 2012 22:01

É, não estou entendendo pois todos exercícios de parábola que eu fiz, foram utilizando -2p
ao invés de 1/2p ou 1/4p

por **LuizAquino** » Dom Set 09, 2012 12:35

Claudin escreveu:É, não estou entendendo pois todos exercícios de parábola que eu fiz, foram utilizando -2p
ao invés de 1/2p ou 1/4p

É apenas uma questão de prestar atenção no livro/material que você está usando.

Leia com atenção nesse livro/material como é que ele define o formato de uma parábola com vértice em $V = (x_v,\,y_v)$ e concavidade para baixo. Em seguida, basta comparar esse formato com a equação que você obteve no exercício (que nesse caso foi $y - 1 = -\frac{4}{3}\left(x + \frac{1}{2}\right)^2$ ).

por **Claudin** » Dom Set 09, 2012 13:15

Observei o livro e está da seguinte forma:

Concavidade voltada para direita

Caso vértice da parábola coincida com a origem dos eixos cartesianos, teremos V(0,0) ou seja, x_0=0

e

fazebdo com que a equação obtida fique da seguinte forma:

(y-0)^2=2p(x-0)

Concavidade voltada para esquerda

Caso vértice da parábola coincida com a origem dos eixos cartesianos, teremos V(0,0) ou seja, x_0=0

e

fazebdo com que a equação obtida fique da seguinte forma:

e

fazebdo com que a equação obtida fique da seguinte forma:

(x-0)^2=2p(y-0)

Concavidade voltada para baixo

Caso vértice da parábola coincida com a origem dos eixos cartesianos, teremos V(0,0) ou seja, x_0=0

e

fazebdo com que a equação obtida fique da seguinte forma:

(x-0)^2=-2p(y-0)

Mas eu sempre usei somente como sendo (x-0)=-2p(y-0)

ou então

por **Claudin** » Dom Set 09, 2012 13:29

Outro problema que estou encontrando seria como diferenciar, quando é uma concavidade para esquerda, direita, cima e para baixo. Pois sabendo isso, usarei as fórmulas correspondente.

por **LuizAquino** » Dom Set 09, 2012 14:09

Claudin escreveu:Observei o livro e está da seguinte forma:

(...)

Concavidade voltada para baixo

Caso vértice da parábola coincida com a origem dos eixos cartesianos, teremos V(0,0) ou seja, e
fazebdo com que a equação obtida fique da seguinte forma:

Preste atenção nesse caso. Considerando que o vértice seja $V = (x_v,\,y_v)$ , a equação terá o formato:

(x-x_v)^2 = -2p(y-y_v)

Agora compare isso com a equação:

$y - 1 = -\frac{4}{3}\left(x + \frac{1}{2}\right)^2$

Ela ainda não está no formato dado anteriormente. Mas podemos arrumá-la escrevendo:

$\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{3}{4}(y - 1)$

Conclusão: teremos que $-2p = -\frac{3}{4}$ , de onde obtemos $p=\frac{3}{8}$ .

Lembrando agora que nesse livro que você está estudando temos que d(F, V) = d(V, d) = p/2 (e além disso a parábola tem concavidade para baixo), podemos dizer que o foco será dado por $F = \left(x_v,\, y_v - \frac{p}{2}\right)$ . E como temos que $x_v = -\frac{1}{2}$ e y_v = 1

, obtemos que $F = \left(-\dfrac{1}{2},\, \dfrac{13}{16}\right)$ .

Claudin escreveu:Outro problema que estou encontrando seria como diferenciar, quando é uma concavidade para esquerda, direita, cima e para baixo. Pois sabendo isso, usarei as fórmulas correspondente.

Se a parábola tem vértice na origem e concavidade para baixo, então o valor de y é sempre negativo (faça o esboço de uma parábola desse tipo para perceber isso). Agora analise a equação x^2 = -2py

que representa essa parábola. Isolando a variável y, obtemos que $y = -\frac{1}{2p} x^2$ . Você já sabe que x^2

é sempre um número positivo. Por outro lado, p é sempre positivo por definição (consulte o seu livro). Sendo assim, o valor de $-\frac{1}{2p} x^2$ será sempre um número negativo. Ou seja, o valor de y será sempre negativo como queríamos. Perceba então como a equação da parábola é condizente com o que acontece com seu esboço.

Fazendo uma análise semelhante, você pode aprender a diferenciar os outros casos. Se você estiver interessado, eu comentei sobre essas análises na videoaula "28. Geometria Analítica - Equação da Parábola" que está disponível em meu canal no YouTube.

por **Claudin** » Seg Set 10, 2012 02:55

Agora parece que entendi sim, amanha verificarei novamente o exercício e qualquer coisa volto a postar.

:y:

Obrigado

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