Dúvida em exercício !

por **Danilo** » Qua Jul 18, 2012 23:28

Provar que ${x}^{n}$ - ${y}^{n}$ para n inteiro positivo. Bom, eu ''peguei'a prova'' em um livro, mas eu não compreendi alguns artifícios algébricos utilizados pelo autor do livro, por isto estou aqui, para que alguem me ajude a entender. Primeiro vou colocar toda a resolução e depois vou dizer o que não entendi.

Vamos provar que Provar que ${x}^{y}$ - ${y}^{n}$ = (x - y) ( ${x}^{n-1}$ + ${x}^{n-2}y$ +....+ ${y}^{n-1}$ .

Inicialmente, vamos mostrar que se a $\neq$ 1,

$1+a+{a}^{2}+{a}^{3}+...+ {a}^{n-1} = \frac{ {a}^{n-1}}{a-1}$

De fato,

$S = 1+a+{a}^{2}+{a}^{3}+...+ {a}^{n-1}\Rightarrow aS = a+{a}^{2}+{a}^{3}+...+ {a}^{n}$

Subtraindo as duas equações anteriores,

aS - S = ${a}^{n} -1$ $\Rightarrow$ (a-1) S = ${a}^{n}-1$ $\Rightarrow$ S= $\frac{ {a}^{n-1}}{a-1}$

Agora fazendo $a=\frac{x}{y}$ na expressão $1+a+{a}^{2}+{a}^{3}+...{a}^{n-1}=\frac{{a}^{n-1}}{a-1}$ ,

$1+\frac{x}{y}+{\left(\frac{x}{y} \right)}^{2}+...{\left(\frac{x}{y} \right)}^{n-1}= \frac{{\left(\frac{x}{y} \right)}^{n}-1}{\frac{x}{y}-1}$ $\Rightarrow$

$\left(\frac{x}{y}-1 \right)\left[1+\frac{x}{y}+{\left(\frac{x}{y} \right)}^{2}+...+{\left(\frac{x}{y} \right)}^{n-1}={\left(\frac{x}{y} \right)}^{n} \right]={\left(\frac{x}{y} \right)}^{n}-1\Rightarrow$

$\left(\frac{x}{y}-1 \right)\left[1+\frac{x}{y}+{\left(\frac{x}{y} \right)}^{2}+...+{\left(\frac{x}{y} \right)}^{n-1} \right]= \frac{{x}^{n}-{y}^{n}}{{y}^{n}}$

${y}^{n}\left(\frac{x-y}{y} \right)\left[1+\frac{x}{y}+{\left(\frac{x}{y} \right)}^{2}+...+{\left(\frac{x}{y} \right)}^{n-1} \right]= {x}^{n}-{y}^{n}\Rightarrow$

$(x-y)\chi\left({y}^{n-1}+{y}^{n-1} \chi \frac{x}{y}+{y}^{n-1}\chi\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}} +...+{y}^{n-1} \chi \frac{{x}^{n-1}}{{y}^{n-1}} \right)={x}^{n}-{y}^{n}$

${x}^{n}-{y}^{n}=\left(x-y \right)\left({x}^{n-1}+{x}^{n-2}y+...{y}^{n-1} \right)$

Observação: o símbolo mais apropriado que encontrei para multiplicação foi $\chi$ , e só utilizei no final da resolução.

Bom, primeiro: aS - S = ${a}^{n-1}$ $\Rightarrow$ (a-1) S = ${a}^{n-1}$ $\Rightarrow$ S= $\frac{ {a}^{n-1}}{a-1}$

eu realmente não entendi por que aS-S = ${a}^{n}-1$ . Entendi que o cara multiplicou ambos os membros da igualdade por a, e na subtração a se corta com a, a² se corta com a² mas não entendi por que ${a}^{n-1}$ fica fora do resultado da subtração. Ele subtraiu ${a}^{n}$ - ${a}^{n-1}$ que deu ${a}^{n}$ ? Não entendi!

Bom,nesta parte da equação $\left(\frac{x}{y}-1 \right)\left[1+\frac{x}{y}+{\left(\frac{x}{y} \right)}^{2}+...+{\left(\frac{x}{y} \right)}^{n-1} \right]= \frac{{x}^{n}-{y}^{n}}{{y}^{n}}$ esta expressão ${\left(\frac{x}{y} \right)}^{n}$ simplesmente some dos colchetes. Por quê?

na penúltima linha, com a equação, $(x-y)\chi\left({y}^{n-1}+{y}^{n-1} \chi \frac{x}{y}+\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}} +...+{y}^{n-1} \chi \frac{{x}^{n-1}}{{y}^{n-1}} \right)={x}^{n}-{y}^{n}$ eu já não entendi absolutamente nada. Eu entendi que o cara multiplicou a ambos os membros por ${y}^{n}$ mas não sei como terminou assim.

Bom, é isso. Agradeço muito a quem puder me ajudar a entender. Grato desde já.

por **MarceloFantini** » Qui Jul 19, 2012 00:51

Pela definição que ele deu, sabemos que $S= 1 + a + \cdots + a^{n-1}$ , ou seja, o último termo é $a^{n-1}$ . Multiplicando tudo por

segue

$aS = a(1 + a + \cdots + a^{n-1}) = a + a^2 + \cdots + a^{n-1+1} = a + a^2 + \cdots + a^n.$

Subtraindo,

$aS -S = (a + a^2 + \cdots + a^{n-1} + a^n) - (1 + a + \cdots + a^{n-1}),$

onde os termos de

até $a^{n-1}$ se cancelam, sobrando

aS -S = a^n-1

.

Perceba então que você deve ter copiado ou lido errado (se não foi um destes casos, o livro está errado mesmo), pois colocando

em evidência e isolando encontramos

$aS-S=(a-1)S = a^n -1 \implies S = \frac{a^n -1}{a -1},$

que é a expressão que ele realmente usa. Fazendo $a = \frac{x}{y}$ e substituindo,

$S = 1 + a + \cdots + a^{n-1} = 1 + \left( \frac{x}{y} \right) + \cdots + \left( \frac{x}{y} \right)^{n-1} = \frac{\left( \frac{x}{y} \right)^n - 1}{\left( \frac{x}{y} \right) -1},$

que é a expressão que ele coloca. Vamos simplificar com calma: o numerador $\left( \frac{x}{y} \right)^n -1$ torna-se $\frac{x^n}{y^n} - 1 = \frac{x^n -y^n}{y^n}$ , enquanto que o denominador vira $\left( \frac{x}{y} \right) -1 = \frac{x-y}{y}$ . Multiplicando os dois lados pelo denominador, chegamos na próxima passagem:

$\left( \frac{x-y}{y} \right) \left[ 1 + \left( \frac{x}{y} \right) + \cdots + \left( \frac{x}{y} \right)^{n-1} \right] = \left( \frac{x^n -y^n}{y^n} \right).$

Daqui, multiplicamos por y^n

, só que já temos um elemento

dividindo, logo subtraimos os expoentes:

$y^n \cdot \left( \frac{x-y}{y} \right) \left[ 1 + \left( \frac{x}{y} \right) + \cdots + \left( \frac{x}{y} \right)^{n-1} \right]$
$= \left( \frac{y^n}{y} \right) \cdot (x-y) \left[ 1 + \left( \frac{x}{y} \right) + \cdots + \left( \frac{x}{y} \right)^{n-1} \right]$
$= (x-y) \cdot y^{n-1} \cdot \left[ 1 + \left( \frac{x}{y} \right) + \cdots + \left( \frac{x}{y} \right)^{n-1} \right]$
$= (x-y) \cdot \left[ y^{n-1} + \left( x y^{n-2} \right) + \cdots + \left( x^{n-2} y \right) + x^{n-1} \right] = x^n -y^n,$

e finalmente o que queríamos.

por **LuizAquino** » Sáb Jul 21, 2012 15:53

Danilo escreveu: $(x-y)\chi\left({y}^{n-1}+{y}^{n-1} \chi \frac{x}{y}+{y}^{n-1}\chi\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}} +...+{y}^{n-1} \chi \frac{{x}^{n-1}}{{y}^{n-1}} \right)={x}^{n}-{y}^{n}$

${x}^{n}-{y}^{n}=\left(x-y \right)\left({x}^{n-1}+{x}^{n-2}y+...{y}^{n-1} \right)$

Observação: o símbolo mais apropriado que encontrei para multiplicação foi $\chi$ , e só utilizei no final da resolução.

Há dois símbolos usados tradicionalmente para a multiplicação: o "x" estilizado e o ponto central.

Esses símbolos no LaTeX são representados, respectivamente, pelos comandos "\times" e "\cdot". Veja um exemplo desses comandos:

$a\times b$

$a\cdot b$

Aqui vale fazer uma observação. Muitas pessoas cometem o equívoco de usar o ponto final (isto é, ".") para representar a multiplicação. O correto é usar o ponto central, pois o ponto final é usado (na notação brasileira) para separar as casas de milhar. Perceba a diferença:

$\\ \textrm{Correto: }a\cdot b \\ \textrm{Errado: }a.b$

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