Plano

por **Claudin** » Seg Jul 16, 2012 04:21

Determine a equação do plano que contém o ponto (3,1,1)

e a reta

$\begin{cases} x=2+t \\ y=1+3t \\ z=-1+2T \end{cases}$

O que tenho que fazer?

por **Russman** » Seg Jul 16, 2012 04:36

Selecione um ponto qualquer da reta. Com este, construa um vetor que o lige ao ponto que deve pertencer ao plano. Este vetor em conjunto com o diretor da reta são os diretores do plano!

por **Claudin** » Ter Jul 17, 2012 02:58

Transformei na seguinte equação:

$\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{2}$

Como ponto qualquer então poderia ser: P_1(2,1,-1)

Considerando P(3,1,1)

Calculei

O que devo fazer agora, não compreendi como juntar os dois vetores?

por **MarceloFantini** » Ter Jul 17, 2012 03:55

A equação do plano será

$\pi : \begin{cases} x= 2 +t -s \\ y=1+3t \\ z =-1 +2t -2s \end{cases}$ .

Note que o vetor encontrado tornou-se um vetor diretor do plano.

por **Russman** » Ter Jul 17, 2012 04:28

Claudin escreveu:O que devo fazer agora, não compreendi como juntar os dois vetores?

A equação vetorial do plano é

$\overrightarrow{r}(t,s)=\overrightarrow{r_{0}}+t.\overrightarrow{v_{1}}+s. \overrightarrow{v_{2}}$ ,

onde $\overrightarrow{r_{0}}, \overrightarrow{v_{1}}$ e $\overrightarrow{v_{2}}$ são vetores constantes e os dois últimos os diretores do plano. A variáveis

e

são parêmetros. Você ja deve saber disso.

Um dos vetores diretores, por exemplo, $\overrightarrow{v_{1}}$ você ja tem, que é o diretor da reta. Agora, com o ponto, você precisa calcular $\overrightarrow{v_{2}}$ .
Você já o fez. Calculou

$\overrightarrow{v_{2}} = (-1,0-2)$ .

Logo:

$\overrightarrow{r}(t,s)=\overrightarrow{r_{0}}+t.\overrightarrow{v_{1}}+s. \overrightarrow{v_{2}}\Rightarrow \overrightarrow{r}(t,s) = \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}+ t.\begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 2 \end{bmatrix}+s.\begin{bmatrix} -1\\ 0\\ -2 \end{bmatrix}$ .

Portanto o plano é:

$\left\{\begin{matrix} x=2+t-s\\ y = 1+3t\\ z-1+2t-2s \end{matrix}\right.$

por **Claudin** » Ter Jul 17, 2012 18:36

A equação acima está na forma paramétrica, porém o gabarito a equação está na forma cartesiana, para passar para a forma cartesiana deve-se isolar o vetor diretor, porém na hora de isolar o vetor diretor "s", sobra o valor de "t", ai não sei como passar para a forma cartesiana.

por **Russman** » Ter Jul 17, 2012 18:59

Para escrever a equação na forma cartesiana, se você tem a forma paramétrica, você deve calcular o vetor normal ao plano. Este é dado por:

$\overrightarrow{N }= k(\overrightarrow{v_{1}}\times \overrightarrow{v_{2} })$ ,

onde

é um escalar real qualquer e os vetores são os diretores do plano.

Como o vetor normal e um ponto você já sabe como identificar a equação cartesiana so plano!