Derivada num ponto pela definição

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Derivada num ponto pela definição

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Derivada num ponto pela definição

Mensagempor emsbp » Sex Jul 13, 2012 16:52

Boa tarde.
É dada a função
f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x}{1-e^{x}}, x> 0 \\ e^{-2x}-e^{x}, x\leq0 \end{matrix}\right.
Pede-se para calcular a derivada no ponto x=2, utilizando a definição.
Sei que devemos determinar o \lim_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}.
Utilizei o primeiro ramo da função, mas não consegui chegar à solução dada.
Peço ajuda.
Obrigado!
.
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Re: Derivada num ponto pela definição

Mensagempor Russman » Sex Jul 13, 2012 18:09

Lembre-se qe os limites bilaterais devem coincidir!
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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