[Limites] como resolver utilizando L' Hôpital

por **AboraBR** » Qui Jul 12, 2012 15:33

$\lim_{\ x\to\infty} \left (\frac {2x-3}{2x+5}\right)^{2x+1}$

Resposta: $\frac {1}{e^{+8}}$

Consegui resolver, porém tive que tirar muitas derivadas para resolver as indeterminações.

por **e8group** » Qui Jul 12, 2012 16:07

Sugestão :

faça $\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)^{2x+1} = \left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)^{2x}\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right) = k$

Aplicando logaritmo natural na igualdade ,vem que :

$ln(k) = 2x ln\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right) + ln\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)$

$(k) = e^{\left[ 2x ln\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right) + ln\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right) \right]}$

aplicando limite :

$\lim_{x\to \infty} (k) =\lim_{x\to \infty } e^{\left[ 2x ln\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right) + ln\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right) \right]}$

Deve conseguir algo aí .

por **e8group** » Qui Jul 12, 2012 17:16

santhiago escreveu:Sugestão :

faça $\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)^{2x+1} = \left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)^{2x}\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right) = k$

Aplicando logaritmo natural na igualdade ,vem que :

$ln(k) = 2x ln\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right) + ln\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)$

$(k) = e^{\left[ 2x ln\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right) + ln\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right) \right]}$

aplicando limite :

$\lim_{x\to \infty} (k) =\lim_{x\to \infty } e^{\left[ 2x ln\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right) + ln\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right) \right]}$

Deve conseguir algo aí .

Tive uma ideia melhor ,

$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)^{2x+1}$

fazendo : 2x -3 = g

,obtemos :

$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)^{2x+1} = \lim_{g\to \infty}\left(1+\frac{8}{g}\right)^{-(g +4)}$

Fazendo mais uma vez a substituição ,

neste caso , $\frac{8}{g} = q$ ,temos que :

$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)^{2x+1} = \lim_{g\to \infty}\left(1+\frac{8}{g}\right)^{-(g +4)} = \lim_{q\to 0} \left[(1+q)^{\frac{-8}{q} -4} = \lim_{q\to 0} \left((1+q)^{\frac{1}{q}} \right)^{-8} (1+q)^{-4}$ .Pelo limite fundamental temos que :

$\lim_{q\to 0} \left((1+q)^{\frac{1}{q}} \right)^{-8} (1+q)^{-4} = e^{-8} 1 = e^{-8} = \frac{1}{e^8}$ , portanto:

$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)^{2x+1}= \frac{1}{e^8}$

OBS.: Perceba que não utilizei derivada , fica a seu critério saber qual desenvolvimento é mais fácil .

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