Dúvida {Cálculo da área de um triângulo}

por **Danilo** » Qua Jul 11, 2012 05:40

Pessoal, estou empacado em um exercício e quero muito saber onde estou errando.

Num triângulo ABC, no qual A(2,1), B(0,3) e C(-1,0), toma-se M na reta BC tal que as áreas dos triângulos AMC e AMB ficam na mesma razão 1/4. Calcular as coordenadas de M.
Resp.: M (-4/3,-1) ou M (-4/5,3/5)

Bom, SABC = área do triangulo ABC, SABM = área do triangulo ABM e S AMC = área do triangulo AMC. Primeiramente calculei a área do triângulo ABC e encontrei 4. De acordo com o enunciado, SAMB = 4SAMC. E também SABC = SABM + SAMC => 4 = 5SAMC => SAMC = 4/5 e SABC = 16/5 . Chamando o ponto M de (x,y) eu fiz o determinante do triângulo ABM e encontrei x-3y+1. Sua área é tal que x-3y+1 = 2SAMC. => x-3y+1 = 2(4/5) => x = (3+15y)/5. Analogamente, calculei a área do triângulo AMC tal que x = (-10y -2 )/10. Resolvendo o sistema formado pelas equações 3+15y)/5 e (-10y -2 )/10 eu consigo encontrar os valores de x e de y, mas esses valores encontrados não condizem com a resposta correta. Alguém poderia por favor me dizer onde estou errando? Agradeço mt a quem puder me ajudar. Valeu !

por **LuizAquino** » Qua Jul 11, 2012 09:47

Danilo escreveu:Num triângulo ABC, no qual A(2,1), B(0,3) e C(-1,0), toma-se M na reta BC tal que as áreas dos triângulos AMC e AMB ficam na mesma razão 1/4. Calcular as coordenadas de M.
Resp.: M (-4/3,-1) ou M (-4/5,3/5)

Danilo escreveu:Pessoal, estou empacado em um exercício e quero muito saber onde estou errando.

Bom, SABC = área do triangulo ABC, SABM = área do triangulo ABM e S AMC = área do triangulo AMC. Primeiramente calculei a área do triângulo ABC e encontrei 4. De acordo com o enunciado, SAMB = 4SAMC. E também SABC = SABM + SAMC => 4 = 5SAMC => SAMC = 4/5 e SABC = 16/5 . Chamando o ponto M de (x,y) eu fiz o determinante do triângulo ABM e encontrei x-3y+1. Sua área é tal que x-3y+1 = 2SAMC. => x-3y+1 = 2(4/5) => x = (3+15y)/5. Analogamente, calculei a área do triângulo AMC tal que x = (-10y -2 )/10. Resolvendo o sistema formado pelas equações 3+15y)/5 e (-10y -2 )/10 eu consigo encontrar os valores de x e de y, mas esses valores encontrados não condizem com a resposta correta. Alguém poderia por favor me dizer onde estou errando? Agradeço mt a quem puder me ajudar. Valeu!

Basicamente você cometeu dois erros: 1) não necessariamente acontece SABC = SAMB + SAMC, pois o ponto M pode estar fora do segmento BC (a única restrição é que M deve estar na reta passando por BC); 2) as áreas de AMB e AMC estão erradas.

Considerando a reta r passando por B = (0, 3) e C = (-1, 0), obtemos r : y = 3x + 3. Como o ponto C está sobre essa reta, temos que o formato desse ponto é C = (t, 3t + 3), para algum escalar t.

Calculando as áreas SAMB e SAMC, obtemos:

$SAMB = \frac{1}{2}\left|\det D\right|,\textrm{ com } D = \begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \\ t & 3t + 3 & 1 \\ 0 & 3 & 1\end{bmatrix}$

$SAMC = \frac{1}{2}\left|\det D\right|,\textrm{ com } D = \begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \\ t & 3t+3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Atenção! Note que $\det D$ está dentro de um módulo. A imensa maioria das pessoas esquece disso quando aplica essa fórmula!

Fazendo as contas, obtemos então que:

SAMB = 4|t|

Lembrando que SAMB = 4SAMC, podemos armar a seguinte equação modular:

4|t| = 16|t + 1|

Agora basta você resolver essa equação modular. Você irá obter dois valores para t. Com isso, você obtém as duas possibilidades para C.

Tente concluir o exercício.

por **Danilo** » Qua Jul 11, 2012 13:54

LuizAquino escreveu:
Danilo escreveu:Num triângulo ABC, no qual A(2,1), B(0,3) e C(-1,0), toma-se M na reta BC tal que as áreas dos triângulos AMC e AMB ficam na mesma razão 1/4. Calcular as coordenadas de M.
Resp.: M (-4/3,-1) ou M (-4/5,3/5)

Danilo escreveu:Pessoal, estou empacado em um exercício e quero muito saber onde estou errando.

Bom, SABC = área do triangulo ABC, SABM = área do triangulo ABM e S AMC = área do triangulo AMC. Primeiramente calculei a área do triângulo ABC e encontrei 4. De acordo com o enunciado, SAMB = 4SAMC. E também SABC = SABM + SAMC => 4 = 5SAMC => SAMC = 4/5 e SABC = 16/5 . Chamando o ponto M de (x,y) eu fiz o determinante do triângulo ABM e encontrei x-3y+1. Sua área é tal que x-3y+1 = 2SAMC. => x-3y+1 = 2(4/5) => x = (3+15y)/5. Analogamente, calculei a área do triângulo AMC tal que x = (-10y -2 )/10. Resolvendo o sistema formado pelas equações 3+15y)/5 e (-10y -2 )/10 eu consigo encontrar os valores de x e de y, mas esses valores encontrados não condizem com a resposta correta. Alguém poderia por favor me dizer onde estou errando? Agradeço mt a quem puder me ajudar. Valeu!

Basicamente você cometeu dois erros: 1) não necessariamente acontece SABC = SAMB + SAMC, pois o ponto M pode estar fora do segmento BC (a única restrição é que M deve estar na reta passando por BC); 2) as áreas de AMB e AMC estão erradas.

Considerando a reta r passando por B = (0, 3) e C = (-1, 0), obtemos r : y = 3x + 3. Como o ponto C está sobre essa reta, temos que o formato desse ponto é C = (t, 3t + 3), para algum escalar t.

Calculando as áreas SAMB e SAMC, obtemos:

$SAMB = \frac{1}{2}\left|\det D\right|,\textrm{ com } D = \begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \\ t & 3t + 3 & 1 \\ 0 & 3 & 1\end{bmatrix}$

$SAMC = \frac{1}{2}\left|\det D\right|,\textrm{ com } D = \begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \\ t & 3t+3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Atenção! Note que $\det D$ está dentro de um módulo. A imensa maioria das pessoas esquece disso quando aplica essa fórmula!

Fazendo as contas, obtemos então que:

Lembrando que SAMB = 4SAMC, podemos armar a seguinte equação modular:

Agora basta você resolver essa equação modular. Você irá obter dois valores para t. Com isso, você obtém as duas possibilidades para C.

Tente concluir o exercício.