Logaritmo Dúvida

por **Louis** » Seg Jul 09, 2012 17:59

Olá, estou estudando matemática para obter um desempenho satisfatório no vestibular. Agradeço a ajuda.

Uma pessoa adquiriu uma calça jeans e observou que ela perde 2,5% de sua cor a cada lavagem, de tal modo que, após n lavagens, terá apenas 25% de sua cor original. Considerando, se necessário, log 5 = 0,698 e log 39 = 1,591, pode-se estimar que o valor aproximado de n é:

01) 10
02) 19
03) 28
04) 37
05) 46

Fazendo uma regra de três básica marquei 10 como sendo a resposta, mas o gabarito afirma que é 46.

por **e8group** » Seg Jul 09, 2012 20:16

Seja Z a cor (C) da da calça ,após a primeira lavagem temos :

$L_1 --------> C_1 = Z\frac{ (100 - 2,5 )}{100}$

Na segunda temos :

$L_2 --------> C_2 = C_1\frac{ (100 - 2,5 )}{100}= Z\left[\frac{ (100 - 2,5 )}{100} \right]^2$

generalizando temos :

$L_n --------> C_n = C_{n-1}\frac{ (100 - 2,5 )}{100} = Z\left[\frac{ (100 - 2,5 )}{100} \right]^n$ ,como $C_n = 25\% Z$ então ,

$Z\left[\frac{ (100 - 2,5 )}{100} \right]^n = \frac{25}{100} Z$ . Aplicando Logaritmo de base 10 em ambos membros da equação temos :

$n = \frac{log(\frac{25}{100})}{log(\frac{975}{1000})}$ , ou seja $n = \frac{2 log(5) -2 log (10)}{2 log(5) +log(39) - 3 log(10)}\approx 46$

por **Louis** » Seg Jul 09, 2012 22:59

Muito obrigado, Santhiago! :-D

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