Parábola

por **Claudin** » Ter Jun 12, 2012 20:42

Determine a equação da parábola com eixo paralelo a Oy, vértice $(-\frac{3}{2},2)$ , passando pelo ponto (-1,-1)

por **Claudin** » Qui Jun 28, 2012 15:41

Se alguém puder me ajudar, ainda não consegui solucionar, tem uns 15 dias q ja postei...
obrigado

por **Russman** » Qui Jun 28, 2012 23:36

Claudin escreveu:Determine a equação da parábola com eixo paralelo a Oy, vértice $(-\frac{3}{2},2)$ , passando pelo ponto

A equação da parábola é

y(x)=ax^2+bx+c

.

Assim, determinar a parabola é, na verdade, determinar os coeficientes a,b e c.

O ponto de "vértice" é o máximo da parábola. Assim, este ponto é tal que

$\frac{d}{dx}y(x)=2ax+b\Rightarrow y'(x=-\frac{3}{2})=2\Rightarrow -3a+b=2$ .

Como a parábola passa por (-1,-1)

, então

$y(-1)=-1\Rightarrow a-b+c=-1$

Agora, precisamos de mais uma informação para obter uma terceira equação e calcular a,b e c.

por **DanielFerreira** » Sex Jun 29, 2012 00:19

Claudin escreveu:Determine a equação da parábola com eixo paralelo a Oy, vértice $(-\frac{3}{2},2)$ , passando pelo ponto

Como o eixo da parábola é paralelo a Oy, podemos concluir que o eixo de simetria "coincide" com o eixo x.
Tal equação é dada por y^2 = 2px

, mas como o vértice não está na origem, temos $(y - 2)^2 = 2p(x + \frac{3}{2})^2$

No ponto (- 1,- 1)

:

$(y - 2)^2 = 2p(x + \frac{3}{2})^2$

$9 = 2p . \frac{1}{3}$

$p = \frac{27}{2}$

Segue que,

$(y - 2)^2 = 2p(x + \frac{3}{2})^2$

$(y - 2)^2 = 27(x + \frac{3}{2})^2$

(...)

por **Claudin** » Seg Jul 02, 2012 20:55

danjr5 escreveu: Como o eixo da parábola é paralelo a Oy, podemos concluir que o eixo de simetria "coincide" com o eixo x.
Tal equação é dada por , mas como o vértice não está na origem, temos $(y - 2)^2 = 2p(x + \frac{3}{2})^2$

No ponto :

$(y - 2)^2 = 2p(x + \frac{3}{2})^2$

$9 = 2p . \frac{1}{3}$

$p = \frac{27}{2}$

Segue que,

$(y - 2)^2 = 2p(x + \frac{3}{2})^2$

$(y - 2)^2 = 27(x + \frac{3}{2})^2$

(...)

Não encontrei $\frac{27}{2}$ , encontrei

.

E mesmo assim nas contas finais não deu resultado como no gabarito que seria:

12x^2+36x+y+25=0

por **Claudin** » Qui Jul 05, 2012 19:34

$(y-2)^2=2p(x+\frac{3}{2})^2$

$(y-2)^2=36(x+\frac{3}{2})^2$

Mas não consegui chegar no resultado correto ainda, que é:

12x^2+36x+y+25=0

por **DanielFerreira** » Qui Jul 05, 2012 20:05

Olá Claudin,
inicialmente, gostaria que me desculpasse pelo equívoco em minha solução. Certamente, concluí erradamente o raciocínio.
Terei que revisar esse assunto! Rsrsrs

Segue outra forma de resolvê-la, assim como a descrita pelo nosso amigo Russman.

Equação da parábola ====> y = ax^2 + bx + c

Vértice ====> $V = \left( - \frac{b}{2a}, - \frac{\Delta}{4a} \right) = \left(- \frac{3}{2},2 \right)$

Passa pelo ponto (- 1, - 1)

Com isso,
I) $- \frac{b}{2a} = - \frac{3}{2} ====> b = 3a$

II) $- \frac{\Delta}{4a} = 2 ====> - 9a^2 + 4ac = 8a$

III) - 1 = a(- 1)^2 + b(- 1) + c ====> c = 2a - 1