DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

por **washington_araujo** » Ter Jun 26, 2012 10:28

Não existem soluções racionais para a equação x^5 + x^4 + x³ + x² + 1=0

Eu comecei supondo que existe um número, racional escrito como uma fração irredutivel ${\left (\frac{p}{q} \right)}$

Dessa forma ${\left (\frac{p}{q} \right)}^{5}+{\left (\frac{p}{q} \right)}^{4}+{\left (\frac{p}{q} \right)}^{3}+{\left (\frac{p}{q} \right)}^{2}+1=0$ $\Rightarrow\frac{{p}^{5}}{{q}^{5}}+\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}+\frac{{p}^{3}}{{q}^{3}}+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}}+1=0$

$\Rightarrow\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}.\left(\frac{p}{q}+1 \right)+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}}.\left(\frac{p}{q}+1 \right)+1=0$

$\left(\frac{p}{q}+1 \right).\left(\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}} \right)+1=0$

Mas daqui em diante eu não sei o que fazer e nem sei se estou no caminho certo!

Poderiam me ajudar

por **e8group** » Ter Jun 26, 2012 16:38

minha ideia foi essa :

1) $\forall x \in \mathbb{Q},\exists{p}\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N^*}$ tais que $x =\frac{p}{q}$ .

2) Seja

uma função ,onde f(x) = x^5+x^4+x^3+x^2+1

.

A parti de 1)Concluímos que $\nexists{c}$ $\in \mathbb{Q}$ tal que f(c) = 0

.

Prova :

$f(x) = 0 \Longrightarrow x^5+x^4+x^3+x^2 +1 = \left(x^2+x^4\right)\left(x+1\right) = 0$ .

$x^2+x^4 > 0, \forall x \neq 0$

$x+1 < 0 , \forall x <-1$

note que f(-2) > f(-3) > f(-4) > ....> f(n)

Conclusão , como $c \in (-2,-1)$ , $\nexists {\frac{p}{q} }$ tal que $\frac{p}{q} =c$ .

Espero que ajude ....

por **e8group** » Qua Jun 27, 2012 23:23

Complementando a resolução ,até porque cometi erros no " Latex" ....

washington_araujo escreveu:Não existem soluções racionais para a equação x^5 + x^4 + x³ + x² + 1=0

Seja

funções tais que g(x) = x+1 ,h(x) = x^2+x^4

e

Pela definição de número racional sabemos que $\forall x \in \mathbb{Q} \exists p \in \mathbb{Z},q\in \mathbb{N^{*}}$ tais que $x =\frac{p}{q}$ .

Vamos primeiro provar que existe um c tal que f(c) = 0

,sabemos que c é ( real) entretanto ainda não sabemos se ele é ou não racional .

Prova :

$f(x) = x^5+x^4+x^3+x^2+1 =(x+1)(x^2+x^4)+ 1 = h(x).g(x) + 1 = 0 \iff h(x).g(x) = - 1$

Como ,

$h(x) > 0 ,\forall x \neq 0$ e $g(x) < 0 ,\forall x < - 1$

Então pelo fato de f ser contínua e " mudar de sinal " para (x < -1)

e $(x \geq -1)$ , veja ,por exemplo :

$f(-\sqrt{2}) < 0$ e f(-1) = 1 > 0

.Ou seja,como $0 \in [f(-\sqrt{2},f(-1)]$ então $c \in (-\sqrt{2} ,-1)$ . (TVI ,veja :(http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do ... i%C3%A1rio ) ,assim concluímos que $\nexists \frac{p}{q} = c$ de modo que

tenha solução racional quando f(x) =0

.

Há de ter uma resolução melhor !

por **washington_araujo** » Qui Jun 28, 2012 10:40

SANTIAGO,

EU ENTENDI ATÉ A PARTE EM QUE A FUNÇÃO MUDA DE SINAL PARA (x<-1) E (x>1), MAS A PARTIR DO EXEMPLO EU NÃO ENTENDI COMO VOCÊ CHEGA A CONCLUSÃO, PODERIA EXPLICAR DE NOVO.
DESCULPA ESTAR PEDINDO MUITA EXPLICAÇÃO É QUE EU AINDA NÃO PEGUEI O JEITÃO DA COISA, MAS VALEU DESDE JÁ PELA RESOLUÇÃO JÁ ABRIU MUITO OS CAMINHOS PARA A RESOLUÇÃO DE ALGUNS OUTROS EXERCÍCIOS.

por **e8group** » Sex Jun 29, 2012 10:22

washington_araujo escreveu:EU ENTENDI ATÉ A PARTE EM QUE A FUNÇÃO MUDA DE SINAL PARA (x<-1) E (x>1), MAS A PARTIR DO EXEMPLO EU NÃO ENTENDI COMO VOCÊ CHEGA A CONCLUSÃO, PODERIA EXPLICAR DE NOVO.

washington araujo ,Vamos lá .

Primeiramente você sabe oque é função contínua , se não ! recomento a leitura do mesmo (http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7% ... t%C3%ADnua) .

" grosso modo " ...

o que eu fiz foi escolher valores a esquerda bem próximo de - 1 tais que c pertence a este intervalo .Note que $-\sqrt{2} \approx - 1,4 , f\left(-\sqrt{2}\right) < 0$ e $f\left(-1\right) > 0$ . Ou seja f " muda se sinal " orá positiva e negativa . Isso significa que "c"

estar entre $-\sqrt{2}$ e

. Há um teorema muito legal que chama Teorema do valor Teorema do valor intermediário se você não conhece recomendo a leitura (http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do ... i%C3%A1rio) .

OBS .: Você consegue ver o gráfico de f no google ,basta pesquisar : x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1

Abraços !