[Dúvida]Integral

por **Jhonata** » Sex Jun 15, 2012 21:17

Bem, estou com dificuldade nessa questão:
Calcule a Integral: $\int_{} \frac{dx}{x^2+2x+5}$ . Eu tentei resolver com alguns metódos que já conheço, mas nenhuma está igual ao gabarito (que é: $\frac{1}{2}arctg\left(\frac{x+1}{2} \right)+c$ ).

Eu fui pedir ajuda ao meu professor, mas ele disse que é muito fácil e não iria resolver, então apenas me sugeriu que eu "completasse" os quadrados do denominador e depois aplicasse uma substituição simples para resolvê-la. Até aí tudo bem, mas eu não sei como "completar quadrados". Existe algum algoritmo, macete, ou qualquer coisa do gênero pra lidar com isso? Se alguém puder me ajudar, desde já, grato.

por **DanielFerreira** » Sex Jun 15, 2012 21:37

Jhonata,
boa noite!
Fiz pela dica dada, mas acho que não sai pela substituição simples e sim substituição trigonométrica.

por **DanielFerreira** » Sex Jun 15, 2012 22:15

Tenho dificuldades em decorar fórmulas, por isso...
x^2 + 2x + 5 ==> x^2 + 2x + 1 + 4 ==> (x + 1)^2 + 4

Considere $x + 1 = \gamma$ , com isso $d\gamma = dx$ :

$\int_{}^{}\frac{dx}{x^2 + 2x + 5} = \int_{}^{}\frac{dx}{(x + 1)^2 + 4} = \int_{}^{}\frac{d\gamma}{\gamma^2 + 4}$

Desenhe um triângulo reto em B, faça:
$BÂC = \theta$

AB = 2

$BC = \gamma$ , então:

$AC = \sqrt[]{\gamma^2 + 4}$

Calculando a tangente:
$tg \theta = \frac{\gamma}{2} ==> \theta = arctg \frac{\gamma}{2}$

$\gamma = 2 tg\theta$

Derivando $\gamma$ ...
$d\gamma = \frac{2 d\theta}{cos^2\theta}$

Fazendo a substituição:
$\gamma^2 + 4 ==> 4tg^2\theta + 4 ==> \frac{4}{cos^2\theta}$

Agora podemos continuar a integral:
$\int_{}^{}\frac{d\gamma}{\gamma^2 + 4} =$

$\int_{}^{}\frac{\frac{2d\theta}{cos^2\theta}}{\frac{4}{cos^2\theta}} =$

$\int_{}^{}\frac{2d\theta}{4} =$

$\left[\frac{\theta}{2} \right] =$

$\left[\frac{arctg\left(\frac{\gamma}{2} \right)}{2} \right]$

$\frac{1}{2} . arctg\left(\frac{x + 1}{2} \right) + c$

Espero ter ajudado!!

por **Jhonata** » Sex Jun 15, 2012 22:23

danjr5 escreveu:Jhonata,
boa noite!
Fiz pela dica dada, mas acho que não sai pela substituição simples e sim substituição trigonométrica.

Boa noite danjr.
Você solucionou meu problema com a Integral. Mas como eu faço pra completar os quadrados? No caso, se eu encontrar outro problema do tipo, eu não saberia como fazer.
E olhando seu desenvolvimento, quando você completou os quadrados, eu entendi porque dá pra fazer com uma substituição simples, ao invés de fazer por substituição trigonométrica;
bastava fazer u=x+1

e

por **DanielFerreira** » Sex Jun 15, 2012 23:35

Boa noite!

Jhonata escreveu:Boa noite danjr.
(...) E olhando seu desenvolvimento, quando você completou os quadrados, eu entendi porque dá pra fazer com uma substituição simples, ao invés de fazer por substituição trigonométrica;
bastava fazer e

Não consegui visualizar! Poderia mostrar os cálculos??

por **Jhonata** » Sáb Jun 16, 2012 02:01

danjr5 escreveu:Boa noite!
Jhonata escreveu:Boa noite danjr.
(...) E olhando seu desenvolvimento, quando você completou os quadrados, eu entendi porque dá pra fazer com uma substituição simples, ao invés de fazer por substituição trigonométrica;
bastava fazer e

Não consegui visualizar! Poderia mostrar os cálculos??

Certamente.
Se substituirmos u=x+1

com

, temos:
$\int_{}^{}\frac{du}{\left(u \right^2+2^2)}=\frac{1}{2}arctg\left(\frac{u}{2} \right)+c=\frac{1}{2}arctg\left(\frac{x+1}{2} \right)+c$
Achei bem mais fácil do que fazer por substituição trigonométrica.
Mas minha dúvida principal na questão é como completar quadrados.

Obrigado pela atenção.

por **e8group** » Sáb Jun 16, 2012 12:09

Jhonata escreveu:Achei bem mais fácil do que fazer por substituição trigonométrica.
Mas minha dúvida principal na questão é como completar quadrados

Bom dia Jhonata ,ainda não aprendi a integrar .Mas em relação a completar quadrados ,note que o mesmo é obtido por uma manipulação algebrica .por exemplo : seja f definida por f(x) de tal modo que $f(x)= ax^2+bx +c ;( a,b , c ) \neq 0$ .

Note se quisermos encontrar o valor de x para o qual f(x) equivale a zero ,temos :

ax^2+bx +c = 0

. Fazendo uma manipulação algebrica ,obtemos que $( ax)^2+abx + \frac{b^2}{4} = \frac{b^2}{4} -ca$ .Observe que somamos e multiplicamos ambos membros da igualdade por ( $\frac{b^2}{4} ; a$ ) .

assim ,

$4(ax+ \frac{b}{2})^2 = b^2 -4ac$ .

Como exercício para você praticar ,mostre que $x_1 = \frac{-b -\sqrt (b^2 -4ac )}{2a} e x_2 = \frac{-b +\sqrt (b^2 -4ac )}{2a}$ . sendo $a,b e c \neq 0$ .

OBS.: Neste link(http://www.youtube.com/watch?v=n_M5upL0U1Y) há uma video aula a respeito deste assunto .

Espero ter ajudado .

abraços .

por **Jhonata** » Sáb Jun 16, 2012 12:53

santhiago escreveu:
Jhonata escreveu:Achei bem mais fácil do que fazer por substituição trigonométrica.
Mas minha dúvida principal na questão é como completar quadrados

Bom dia Jhonata ,ainda não aprendi a integrar .Mas em relação a completar quadrados ,note que o mesmo é obtido por uma manipulação algebrica .por exemplo : seja f definida por f(x) de tal modo que $f(x)= ax^2+bx +c ;( a,b , c ) \neq 0$ .

Note se quisermos encontrar o valor de x para o qual f(x) equivale a zero ,temos :

. Fazendo uma manipulação algebrica ,obtemos que $( ax)^2+abx + \frac{b^2}{4} = \frac{b^2}{4} -ca$ .Observe que somamos e multiplicamos ambos membros da igualdade por ( $\frac{b^2}{4} ; a$ ) .

assim ,

$4(ax+ \frac{b}{2})^2 = b^2 -4ac$ .

Como exercício para você praticar ,mostre que $x_1 = \frac{-b -\sqrt (b^2 -4ac )}{2a} e x_2 = \frac{-b +\sqrt (b^2 -4ac )}{2a}$ . sendo $a,b e c \neq 0$ .

OBS.: Neste link(http://www.youtube.com/watch?v=n_M5upL0U1Y) há uma video aula a respeito deste assunto .

Espero ter ajudado .

abraços .

Muito obrigado Santhiago. Foi esclarecedor e como eu já havia previsto, não há um algoritmo menos complexo, mas o que você fez deu pra entender muito bem. Parece que pra lidar com isso mesmo, terei de perder um tempo exercitando tal. Vou dar uma olhada no vídeo e muito obrigado pela sua grande ajuda e atenção.
Abraços.