[Limite e Continuidade] - Cálculo II

por **milerengcomp** » Qui Jun 14, 2012 21:39

Calcule $\lim_{(x,y)->(\sqrt2/2,\sqrt2/2)}{e}^{1/(x^2+y^2-1)}/(x^2+y^2-1)$ .
Tentei:
1) Variar x fixando y em 0;
2) Variar y fixando x em 0;
3) Fazer x = y = t.
Mas não consegui fugir da indeterminação.
O limite é 0. Se alguém puder provar, agradeço desde já.

por **LuizAquino** » Sex Jun 15, 2012 18:57

milerengcomp escreveu:Calcule $\lim_{(x,y)->(\sqrt2/2,\sqrt2/2)}{e}^{1/(x^2+y^2-1)}/(x^2+y^2-1)$ .
Tentei:
1) Variar x fixando y em 0;
2) Variar y fixando x em 0;
3) Fazer x = y = t.
Mas não consegui fugir da indeterminação.
O limite é 0. Se alguém puder provar, agradeço desde já.

Primeiro, esse limite não é igual a 0. Na verdade, ele não existe.

E em segundo, não faria sentido fixar y = 0 ou x = 0, pois nesse caso você não se aproximaria do ponto desejado. Por exemplo, fazendo x = t e y = 0, quando $t\to\frac{\sqrt{2}}{2}$ temos que $(x,\,y) \to \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\,0\right)$ . Note que esse não é o ponto desejado para o limite.

Já a sua tentativa x = y = t faz mais sentido. Nesse caso, quando $t\to\frac{\sqrt{2}}{2}$ , temos que $(x,\,y) \to \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Escolhendo esse caminho, note que:

(i) $\lim_{t\to\frac{\sqrt{2}}{2}^+} \frac{e^{\frac{1}{2t^2 - 1}}}{2t^2 - 1} = +\infty$

(ii) $\lim_{t\to\frac{\sqrt{2}}{2}^-} \frac{e^{\frac{1}{2t^2 - 1}}}{2t^2 - 1} = 0$

Como os limites laterais são distintos, temos que $\lim_{t\to\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{e^{\frac{1}{2t^2 - 1}}}{2t^2 - 1}$ não existe. Como para esse caminho o limite não existe, temos que o limite original também não existe.

Vejamos agora como calcular os limites (i) e (ii).

Para calcular (i), perceba que quando $t\to\frac{\sqrt{2}}{2}^+$ , temos que $2t^2 - 1 \to 0^+$ . Sendo assim, teremos que $\frac{1}{2t^2 - 1} \to +\infty$ e $e^{\frac{1}{2t^2 - 1}} \to +\infty$ . Usando essas informações, temos que:

$\lim_{t\to\frac{\sqrt{2}}{2}^+} \frac{e^{\frac{1}{2t^2 - 1}}}{2t^2 - 1} = \lim_{t\to\frac{\sqrt{2}}{2}^+} \frac{1}{2t^2 - 1} e^{\frac{1}{2t^2 - 1}} = (+\infty)(+\infty) = +\infty$

Já para calcular (ii), perceba que quando $t\to\frac{\sqrt{2}}{2}^-$ , temos que $2t^2 - 1 \to 0^-$ . Sendo assim, teremos que $\frac{1}{2t^2 - 1} \to -\infty$ e $e^{\frac{1}{2t^2 - 1}} \to 0^+$ . Usando essas informações, podemos aplicar a Regra de L'Hospital, já que temos uma indeterminação do tipo 0/0. Para facilitar, faremos a substituição u = 2t^2 - 1

. Temos então que:

$\lim_{t\to\frac{\sqrt{2}}{2}^-} \frac{e^{\frac{1}{2t^2 - 1}}}{2t^2 - 1} = \lim_{u\to 0^-} \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u}$

$= \lim_{u\to 0^-} \frac{\frac{1}{u}}{e^{-\frac{1}{u}}}$

$= \lim_{u\to 0^-} \frac{\left(\frac{1}{u}\right)^\prime}{\left(e^{-\frac{1}{u}}\right)^\prime}$

$= \lim_{u\to 0^-} \frac{-\frac{1}{u^2}}{\frac{1}{u^2} e^{-\frac{1}{u}}}$

$= \lim_{u\to 0^-} -\frac{1}{e^{-\frac{1}{u}}}$

$= \lim_{u\to 0^-} -e^{\frac{1}{u}}$

= 0

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