Duvida - Geometria Plana 3

por **Luiz Felipe** » Ter Jun 05, 2012 22:48

Uma folha de papel ABCD de formato retangular é dobrada em torno do segmento EF, de maneira que o ponto A ocupe a posição G, como mostra a figura. Se AE = 3 e BG = 1, então a medida do segmento AF é igual a :

: FIGURA; Figura.JPG (4.12 KiB) Exibido 7768 vezes

RESP.: $\frac{(3\sqrt[2]{5})}{5}$

Esta questão eu não consegui começar tambem.

Eu começei a estudar Geometria Plana hoje, nunca tinha estudado antes, conto com a ajuda de vocês para sanar minhas duvidas. :-D

por **MarceloFantini** » Qua Jun 06, 2012 02:45

É muito importante lembrar que ele dobrou a página, pois isto significa que AF = FG

e

. Trace uma reta paralela a

começando no ponto

e chame este novo ponto de

. Temos que GH = 2

pois

. O triângulo retângulo FGB

tem hipotenusa

e um cateto

. Usando o teorema de pitágoras, chegamos que o outro cateto é $\sqrt{x^2 -1}$ .

Assim, o segmento

tem comprimento $x + \sqrt{x^2 -1}$ , mesmo comprimento de

. Preste atenção ao triângulo EGH

que criamos. Ele é retângulo, tem hipotenusa 3, catetos 2 e $x + \sqrt{x^2 -1}$ . Aplicando o teorema de pitágoras, vem

$9 = 4 + (x + \sqrt{x^2 -1})^2 = 4 + x^2 + 2x \sqrt{x^2 -1} + x^2 -1$

$\implies 2x \sqrt{x^2 -1} = 6-2x^2$ .

Elevando os dois lados ao quadrado, segue

4x^2 (x^2-1) = 36 -24x^2 +4x^4

;

dividindo por 4,

x^2(x^2 -1) = x^4 - x^2 = 9 -6x^2 +x^4

que nos leva a

5x^2 = 9

e finalmente $x^2 = \frac{9}{5} \implies x = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ , pois

é um comprimento e portanto positivo.

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