Assíntotas da hipérbole

por **CarolMarques** » Sáb Mai 26, 2012 11:41

A equação 7x²+24xy-256x-192y+1456=0 é uma hipérbole que por meio de rotação e translação eu cheguei numa equação reduzida x²/9-y²/16=1 o centro é C(8,6) e o angulo de rotação é o arc sen =3/5 (sen a =3/5 e cos a =4/5).Eu não sei achar as assintotas dessa hipérbole.Por favor me ajudem.

por **LuizAquino** » Seg Mai 28, 2012 15:12

CarolMarques escreveu:A equação 7x²+24xy-256x-192y+1456=0 é uma hipérbole que por meio de rotação e translação eu cheguei numa equação reduzida x²/9-y²/16=1 o centro é C(8,6) e o angulo de rotação é o arc sen =3/5 (sen a =3/5 e cos a =4/5).

Ok. Mas é interessante você mudar as variáveis x e y conforme efetua as translações e rotações.

Por exemplo, ao realizar a translação você passou do sistema de eixos xOy para um outro sistema de eixos x'O'y'.

Em seguida, ao realizar a rotação você passou do sistema de eixos x'O'y' para um outro sistema de eixos uO''v.

Sendo assim, é interessante deixar a equação final com o formato:

$\frac{u^2}{9} - \frac{v^2}{16} = 1$

Isso ajuda a não fazer confusão sobre que sistema de eixos estamos no momento.

CarolMarques escreveu:Eu não sei achar as assintotas dessa hipérbole.

Se uma hipérbole é dada pela equação $\frac{u^2}{a^2} - \frac{v^2}{a^2} = 1$ , então as assíntotas dessa hipérbole são $v = \frac{b}{a}u$ e $v = -\frac{b}{a}u$ .

Portanto, as assíntotas da hipérbole $\frac{u^2}{9} - \frac{v^2}{16} = 1$ são dadas por $v = \frac{4}{3}u$ e $v = -\frac{4}{3}u$ .

Precisamos agora aplicar uma rotação nessas assíntotas e depois uma translação. Desse modo, voltaremos para o sistema de eixos originais.

Para aplicar a rotação, basta realizar as substituições $u = \frac{4}{5}x' + \frac{3}{5}y'$ e $v = -\frac{3}{5}x' + \frac{4}{5}y'$ . Isso nos leva do sistema uOv para o sistema x'O'y'. Temos então que:

$v = \frac{4}{3}u\implies x' = 0$

$v = -\frac{4}{3}u\implies y' = -\frac{7}{24}x'$

Agora para aplicar a translação, basta realizar as substituições x' = x - 8

e

. Isso nos leva do sistema x'O'y' para o sistema xOy. Temos então que:

$x' = 0 \implies x = 8$

$y' = -\frac{7}{24}x' \implies y = -\frac{7}{24}x + \frac{25}{3}$

Portanto, as equações das assíntotas no sistema xOy são dadas por x = 8

e $y = -\frac{7}{24}x + \frac{25}{3}$ .

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