Justificar a afirmação

por **silvanuno11** » Sex Mai 25, 2012 12:45

Boa tarde,

Alguém me pode ajudar a resolver o seguinte exercício?

Obrigado
Abraço

por **Guill** » Dom Mai 27, 2012 21:58

Observe que:

${a}_{x} = \sum_{k=0}^{x}\binom{x}{k}(-1)^k.k$

${a}_{x} = \sum_{k=0}^{x}\frac{x!}{k!(x-k)!}(-1)^k.k$

Vale a pena notar que k = 0 ou k = 1 não tem diferença na somatória, já que no caso de k = 0, o valor é sempre nulo:

${a}_{x} = \sum_{k=1}^{x}\frac{x.(x - 1)!}{(k-1)!(x-k)!}(-1)^k$

${a}_{x} = x.\sum_{k=1}^{x}\binom{x-1}{k-1}(-1)^{k-1}.(-1)$

${a}_{x} = -x.\sum_{k=1}^{x}\binom{x-1}{k-1}(-1)^{k-1}$

Observe esse binômio de Newton. Note que ele é $(1 - 1)^{x-1}$ :

${a}_{x} = 0$

Mas isso não é válido para x = 1, onde ${a}_{1} = -1$

Agora, desenvolvendo a próxima somatória:

$\sum_{j=1}^{n-1}\binom{n}{j}(-1)^j.{a}_{j}$

$\sum_{j=2}^{n-1}\binom{n}{j}(-1)^j.{a}_{j} + \binom{n}{1}(-1)^1.(-1)$

$\binom{n}{1}(-1)^1.(-1) = n$