[Cálculo de Baricentro] com um vértice e um ponto médio

por **Matheus Lacombe O** » Dom Mai 27, 2012 18:49

Cálculo de Baricentro com um vértice e um ponto médio

- Olá pessoal. Continuo resolvendo a minha antiga apostila positivo e heis que me surge outra dúvida.

- No enunciado deste problema tenho apenas dois pontos de um triangulo ABC. Sendo eles, um vértice A(2,5) e o ponto médio entre os vértices 'B' e 'C' - que chamei de P(5,-4). Com apenas estes dois dados o enunciado pede que seja calculado "[..]o ponto de intersecção das medianas do triângulo ABC.", ou seja, as coordenadas do baricentro

Tentativas:

- Bem, antes de mostrar os cálculos gostaria de expor o raciocíneo. Como não tenho os pontos 'B' e 'C' acho que é impossível calcular o baricentro pela fórmula abaixo:

$G=\left( \frac{Xa + Xb + Xc}{3} , \frac{Ya + Yb + Yc}{3} \right)$

- Portanto, tentei resolver usando a razão de 2/1, uma vez que o baricentro (G) divide as medianas na razão de dois para um.

Imagem

- Logo:

- Calculando a distancia AG

${d(A,G)}^{2}={(x-2)}^{2}+{(y-5)}^{2}$

${d(A,G)}^{2}={x}^{2}-4x+4+{y}^{2}-10y+25$

${d(A,G)}^{2}={x}^{2}-4x+{y}^{2}-10y+29$

- Calculando a distancia PG:

${d(P,G)}^{2}={(x-5)}^{2}+{(y+4)}^{2}$

${d(P,G)}^{2}={x}^{2}-10x+25+{y}^{2}+8y+16$

${d(P,G)}^{2}={x}^{2}-10x+{y}^{2}+8y+41$

- Se d(A,G) = 2.(d(P,G)), logo:

${x}^{2}-4x+{y}^{2}-10y+29 = 2. \left( {x}^{2}-10x+{y}^{2}+8y+41 \right)$

${x}^{2}-4x+{y}^{2}-10y+29 = 2{x}^{2}-20x+2{y}^{2}+16y+82 \right)$

${x}^{2}-16x+{y}^{2}-6y+53=0$

- E agora? não chego a lugar algum!

por **DanielFerreira** » Dom Mai 27, 2012 21:24

Matheus,
não garanto que meus cálculos estejam corretos. Fiz assim:
Considerando P o ponto médio de BC (supondo B à esquerda de P), digamos que o segmento BC = 2k, temos que:
B = (5 - k, - 4) e C = (5 + k, - 4)

Com isso:
$G = \left(\frac{Xa + Xb + Xc}{3},\frac{Ya + Yb + Yc}{3} \right)$

$G = \left(\frac{2 + (5 - k) + (5 + k)}{3},\frac{5 - 4 - 4}{3} \right)$

$G = \left(\frac{12}{3},\frac{- 3}{3} \right)$

G = (4, - 1)