POLINÔMIOS COM GEOMETRIA ANALÍTICA?

por **Joao** » Qui Jul 23, 2009 18:32

Boa tarde!!!

Pessoal, o problema é o seguinte: O polinômio P(x)= x^4-ax^2+bx

é divisível por x+3 e o resto de sua divisão por x-1 é a abcissa do ponto médio do segmento MN, onde M(-9,3) e N(-15,-4).Encontre os valores de a e b.

Bem, primeiro resolvi P(x) por x+3 pelo dispositivo de Briot-Ruffini e que deu um resultado nada satisfatório, então depois tirei a raiz de x+3=0 => x=-3
e fiz P(-3)= (-3)^4 - a.(-3)^2+b.(-3)

e cheguei a P(-3)= 81- 9a -3b. E daí em diante não consegui resolver o problema e nem aplicar os conceitos de geometria analítica.

Por favor, alguém me ajude nessa questão!!!
:-P

por **Molina** » Qui Jul 23, 2009 19:37

Boa noite, Joao.

Vamos por partes.
Primeiramente descobrir o ponto médio de M(-9,3) e N(-15,-4):

$\frac{-9+(-15)}{2}=-12$

$\frac{3+(-4)}{2}=-\frac{1}{2}$

Ponto médio: (-12, -1/2)

Abscissa do ponto médio: -12

Ou seja, a divisão de P(x)= x^4-ax^2+bx

por

tem resto igual a

Tente a partir destas informações.
Use Briot-Ruffini que eu acho que vai dar certo.

Abraços! :y:

por **Joao** » Sex Jul 24, 2009 16:34

Obrigado pela ajuda Molina!!!

Pois eu consegui terminar a resolução do problema.
É so que eu utilizei um método + prático do que o Dispositivo de Briot-Ruffini.
Bem, eu fiz assim:
Já que, x+3=0 => x=-3 e x-1=0=> x=1
Então:
P(x)= x^4 - ax^2 +bx

R(x)=P(1)= 1-a+b=-12
R(x)=P(-3)= 81-9a-3b=0

Logo,

{-a+b=-13.(3) (I)
{-9a-3b=-81

{-3a+3b=-39 (II)
{-9a-3b=-81

-12a= -120 => a=10 (III)
-10+b=-13 => b=-3

E bateu com gabarito, Vlw's!!! :y: