[AJUDA] Integral convergente

por **gabrielnandi** » Ter Mai 15, 2012 22:39

amigos... me ajudem a solucionar esta questao.

encontre o valor de A para ser convergente!

$\int\limits_{0}^ \infty\frac{DT}{{e}^a^t}$

amigos.. ali onde é $\infty$ (tendendo ao infinito)
eu nao consigo colocar sinal de + na frente.. o correto seria
+ $\infty$

muito obrigado

por **gabrielnandi** » Ter Mai 15, 2012 22:51

amigos... discupa pedir tudo mastigadinho.. pois eu nao consigo inicia esta questao...

por **LuizAquino** » Sex Mai 18, 2012 18:07

gabrielnandi escreveu:amigos... me ajudem a solucionar esta questao.

encontre o valor de A para ser convergente!

$\int\limits_{0}^ \infty\frac{DT}{{e}^a^t}$

amigos.. ali onde é $\infty$ (tendendo ao infinito)
eu nao consigo colocar sinal de + na frente.. o correto seria
+ $\infty$

Eu presumo que a integral seja:

$\int_0^{+\infty} \frac{1}{e^{at}} \, dt$

gabrielnandi escreveu:amigos... discupa pedir tudo mastigadinho.. pois eu nao consigo inicia esta questao...

Para estudar a resolução da integral, eu gostaria de lhe dar uma dica. Você pode usar um programa para isso! Por exemplo, o SAGE, o Mathematica, o Maple, etc.

Alguns desses programas são disponibilizados também na forma de uma página na internet. É o caso do SAGE Notebook e do Mathematica. Por exemplo, siga os passos abaixo para conferir a resolução da integral indefinida associada a esse problema.

Acesse a página: http://www.wolframalpha.com/
No campo de entrada, digite:
Código: Selecionar todos
integrate 1/(e^(at)) dt
Clique no botão de igual ao lado do campo de entrada.
Após a integral ser calculada, clique no botão "Show steps" ao lado do resultado.
Pronto! Agora basta estudar a resolução.

Após seguir esses passos, você verá que:

$\int \frac{1}{e^{at}} \, dt = -\frac{1}{a}e^{-at} + c$

Agora para calcular a integral imprópria desejada, temos então que:

$\int_0^{+\infty} \frac{1}{e^{at}} \, dt = \lim_{r\to +\infty}\int_0^{r} \frac{1}{e^{at}} \, dt$

$= \lim_{r\to +\infty} \left[-\frac{1}{a}e^{-at}\right]_0^r$

$= \lim_{r\to +\infty} \left[-\frac{1}{a}e^{-ar} - \left(-\frac{1}{a}e^{-a\cdot 0}\right)\right]$

$= \lim_{r\to +\infty} -\frac{1}{a}e^{-ar} + \frac{1}{a}$

Agora é necessário usar os conhecimentos sobre os limites exponenciais.

Utilizando esses conhecimentos, sabemos que para a < 0 irá ocorrer $\lim_{r\to +\infty} e^{-ar} = +\infty$ . Por outro lado, sabemos que para a > 0 irá ocorrer $\lim_{r\to +\infty} e^{-ar} = 0$ .

Sendo assim, para que a integral imprópria seja convergente precisamos ter a > 0. Nesse caso, irá ocorrer:

$\lim_{r\to +\infty} -\frac{1}{a}e^{-ar} + \frac{1}{a} = -\frac{1}{a}\cdot 0 + \frac{1}{a} = \frac{1}{a}$

por **gabrielnandi** » Sáb Mai 19, 2012 21:01

muito obrigado.. mais esses a tem restrições para os valores.. eu imagino que tenha q ser A>0

por **LuizAquino** » Sáb Mai 19, 2012 21:22

gabrielnandi escreveu:muito obrigado... mais esses a tem restrições para os valores.. eu imagino que tenha q ser A>0

Por favor, leia com atenção o que escrevi no final da mensagem acima: "Sendo assim, para que a integral imprópria seja convergente precisamos ter a > 0."