Combinatória (hóspedes)

[paulo testoni]

Três estudantes chegaram juntos a uma cidade para participar de um concurso e, não tendo feito reservas com antecedência, constataram que, em cada um dos quatro hotéis da cidade, existam, apenas, duas vagas disponíveis. Sabendo-se que os três não podem ficar juntos num mesmo hotel, pode-se afirmar que o número máximo de pessoas de hospedagem de que dispõem é igual a:

Estou com 4 respostas diferentes dadas também por quatro pessoas diferentes, a saber:

1) Você pode formar 3 duplas diferentes C3,2 = 3 e como são 4 hotéis elas podem ser acomodadas de 3*4=12 maneiras diferentes. Em cada caso restam, nos outros 3 hotéis 6 quartos diferentes para serem ocupados pelo aluno restante:
12*6 = 72

2) Dois no mesmo hotel (e o outro em um dos 3 restantes):
C3,2 = 3 maneiras de formar pares
(C3,2)*4 =12 maneiras de acomodar uma dupla em 4 hotéis
3 maneiras de acomodar o terceiro estudante
parcial: 12*3=36 maneiras
um em cada hotel:
3*4 = 12
Total = 48

3) essa é a minha solução:
1.ª situação:
Cada um dos 3 rapazes devem ficar sozinhos em um dos 4 hotéis:
Fixando qualquer um dos rapazes no 1.º hotel os demais ficam automaticamente definidos. Essa situação gera 6 combinações possíveis, então:
6*4 = 24 maneiras de dispormos os 3 rapazes: sendo 1 em cada 1 do 4 hotéis existentes.

2.ª situação:
Colocando 2 rapazes num mesmo hotel sobram 3 hotéis para o terceiro rapaz se alojar.
Para 2 rapazes juntos e 1 terceiro sozinho, existem: 4*3 = 12 maneiras de dispô-los nos 4 hotéis.

Como os 3 rapazes combinados 2 a 2 geram mais 3 situações, então:
3*12 = 36 maneiras de dispormos os 3 rapazes: sendo 2 em cada 1 do 4 hotéis e 1 em cada um dos 3 hotéis restantes.

Portanto: 24 + 36 = 60

4) 8*6*4 = 192

Gostaria de saber a opinião de outros colegas.

[Sandra Piedade]

Olá Paulo! Para começar, se todas dão valores diferentes, pelo menos três dessas quatro respostas apresentadas estão erradas, certo? Então o melhor será mesmo pensar por si próprio. Como deve imaginar, há mais do que uma forma de pensar sobre o assunto, para depois calcular. Aqui fica uma forma de abordagem antes do cálculo. Espero que ajude. No final, se mesmo assim não se sentir seguro, como não é um número "astronómico" de possibilidades, pode verificar se acertou ou não. Deve tentar perceber também onde é que as outras respostas falharam, para não cair no mesmo erro.

Não podem ficar os três juntos, por isso, ou ficam um em cada hotel ou ficam dois num e outro noutro.
Na primeira situação devemos escolher qual o hotel que sobra, e isso poderá acontecer de quantas formas? Depois temos que contar de quantas formas podemos permutar os três amigos. Quantas são? Então para a primeira situação há quantos casos possíveis?
Na segunda situação, um hotel fica com dois dos amigos (quantas são as possibilidades de escolha desse hotel?), e um dos outros fica com o último dos amigos (quantas são as possibilidades de escolha desse hotel?) e depois é só ver em cada caso de quantas maneiras se podem permutar os três amigos (quantas são?). Para esta segunda situação quantos são os casos possíveis?
Então no total quantos são?

[admin]

Olá Sandra!

Gostei muito de sua abordagem sobre o processo de investigação.
Até mais!

[Sandra Piedade]

Obrigada! E o que o paulo testoni pensa disto?... Já conseguiu, Paulo?

[jorge1986]

Enviada: Sex Jul 17, 2009 6:53 pm Assunto:

--------------------------------------------------------------------------------

O Paulo Santa Rita explicou bem direitinho como fazer essa questão. LEMBRA !!!!!!!!!!!!!!!!!

Ola Jorge e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Supondo que num mesmo hotel voce diferencia os quartos disponiveis (
exemplo : (joao,hotel A,quarto 1) # (joao, hotel A, quarto 2) ), eu
pensaria assim :

O que caracteriza univocamente uma alocacao e um trio da forma
(hotel,rapaz, quarto). Consideremos, a principio, o caso em cada rapaz
fica em um hotel ( nenhum hotel com 2 rapazes )

1) Escolhemos 3 hoteis. Isso pode ser feito de 4 formas. Fixada uma
escolha, podemos permutar os rapazes pelos hoteis escolhidos de 3!=6
modos. Teremos portanto 4*6=24 formas de colocar 3 rapazes em tres
hoteis. Fixados uma dessas escolhas, podemos varia cada rapaz em um
dos dois quartos de cada hotel, dando 24*2*2*2=24*8=192 maneiras.

Existe tambem a possibilidade de alocar dois rapazes em um hotel,
ficando o terceiro rapaz em um dos tres hoteis restantes. Para ver
como e possivel fazer isso, considere o seguinte :

2)Podemos escolher dois rapazer de 3 maneiras. Como ha 4 hoteis, isso
da 3*4 = 12 maneiras de alocar dois rapazes em um hotel. Em cada uma
destas alocacoes podemos permutar os quartos onde os rapazes ficarao,
dando portanto 12*2 = 24 maneiras distintas de alocar 2 rapazes em um
dos hoteis. Fixado qualquer uma destas maneiras, há 6 possibilidades
de alocar o terceiro rapaz ( pois restam 3 hoteis, cada um com 2
quartos ). Logo, o total de possibilidades e 24*6= 144

1) + 2) = 192+144= 336 maneiras.

Um abraco a todos
PSR,40E07090F2A