Dúvida - Indução Finita

por **Cleyson007** » Seg Mai 07, 2012 15:10

Boa tarde a todos!

Mostre por indução sobre $n\geq1$ que:

Todo número inteiro da forma ${n}^{3}+2n$ com $n\geq1$ é divisível por 3.

Bom, eu sei que a afirmação é válida para n=1. Devo supor que seja válida para A(n) para consequentemente ser válida para A(n+1). Mas não consigo resolver..

Preciso de ajuda :y:

Até mais.

por **MarceloFantini** » Ter Mai 08, 2012 23:12

Você assume que seja válida para A(n)

e quer provar que vale para A(n+1)

. Assim,

Hipótese: n^3 +2n = 3k

;
Tese:

, onde $k, \, s$ são inteiros.

Expanda e use a hipótese. Depois basta reorganizar pra chegar em um múltiplo de 3.

por **Cleyson007** » Qua Mai 09, 2012 09:30

Bom dia Marcelo!

Por favor, veja se é isso:

${(n+1)}^{3}+2(n+1)=3s$

${n}^{3}+3{n}^{2}+3n+3=3s\Rightarrow3k+3{n}^{2}+3n+3=3s$

$3(k+{n}^{2}+n+1)=3s$

Aguardo retorno.

por **MarceloFantini** » Qua Mai 09, 2012 21:26

Não é isto, pois assim você pressupõe que já seja múltiplo de 3. Faça

(n+1)^3 + 2(n+1) = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 2n + 2 = (n^3 + 2n) + (3n^2 +3n + 3) =

= 3k + 3(n^2 + n + 1) = 3(k + n^2 + n + 1) = 3s

.

Perceba que a igualdade com um múltiplo de três é a última passagem, que é sua conclusão.

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