Cálculo de derivada pela definição

por **emsbp** » Qua Mai 02, 2012 10:34

Bom dia.
Peço ajuda no cálculo da derivada, pela definição, da função $\sqrt[4]{x}$ .
Comecei por $\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sqrt[4]{x+h}-\sqrt[4]{x}}{h}$ . Depois tentei ir desenvolver, aplicando o conjugado do numerador, mas a partir daí não consegui avançar.
Obrigado!

por **LuizAquino** » Qua Mai 02, 2012 13:55

emsbp escreveu:Peço ajuda no cálculo da derivada, pela definição, da função $\sqrt[4]{x}$ .
Comecei por $\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sqrt[4]{x+h}-\sqrt[4]{x}}{h}$ . Depois tentei ir desenvolver, aplicando o conjugado do numerador, mas a partir daí não consegui avançar.

O seu erro foi multiplicar pelo "conjugado".

O você precisa fazer é multiplicar o numerador e o denominador por:

$\left[\left(\sqrt[4]{x+h}\right)^3 + \left(\sqrt[4]{x+h}\right)^2\left(\sqrt[4]{x}\right) + \left(\sqrt[4]{x+h}\right)\left(\sqrt[4]{x}\right)^2 + \left(\sqrt[4]{x}\right)^3\right]$

Em seguida, no numerador use o seguinte produto notável:

$a^4 - b^4 = (a-b)\left(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3\right)$

Agora tente continuar o exercício.

por **emsbp** » Qua Mai 02, 2012 14:23

Boa tarde.
Ok. Obrigado.
Agora a dúvida é como chegou à expressão que diz que tenho que multiplicar ao numerador e ao denominador.

por **LuizAquino** » Qua Mai 02, 2012 14:40

emsbp escreveu:Agora a dúvida é como chegou à expressão que diz que tenho que multiplicar ao numerador e ao denominador.

Você chega nessa expressão ao analisar o produto notável.

Note que o numerador da fração era $\sqrt[4]{x+h}-\sqrt[4]{x}$

Para eliminar essa raiz quarta, precisamos elevar a quarta potência. Ou seja, precisamos fazer aparecer algo como:

$\left(\sqrt[4]{x+h}\right)^4- \left(\sqrt[4]{x}\right)^4$

Para fazer essa expressão aparecer, devemos lembrar do produto notável indicado anteriormente:

$a^4 - b^4 = (a-b)\left(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3\right)$

Comparando esse produto notável com a expressão que desejamos fazer aparecer, basta fixar:

$a =\sqrt[4]{x+h}$

$b =\sqrt[4]{x}$

Ou seja, temos que:

$\left(\sqrt[4]{x+h}\right)^4- \left(\sqrt[4]{x}\right)^4$ $\,= \left(\sqrt[4]{x+h} - \sqrt[4]{x}\right)\left[\left(\sqrt[4]{x+h}\right)^3 + \left(\sqrt[4]{x+h}\right)^2\left(\sqrt[4]{x}\right) + \left(\sqrt[4]{x+h}\right)\left(\sqrt[4]{x}\right)^2 + \left(\sqrt[4]{x}\right)^3\right]$

Daí concluímos que precisamos multiplicar o numerador e o denominador da fração no limite pela expressão indicada anteriormente.