Limite indeterminado ? - ?

por **cjunior94** » Ter Mai 01, 2012 22:00

Tentei resolver esse limite, mas não conseguir, não sei se foi a mudança no limite ou erro nas derivadas, mas não consegui achar o resultado.

$\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[]{x^2+x}-x$

Como estou estudando L'hospital, gostaria que se possível fosse resolvendo utilizando esse método.

Obrigado

por **LuizAquino** » Qua Mai 02, 2012 14:17

cjunior94 escreveu:Tentei resolver esse limite, mas não conseguir, não sei se foi a mudança no limite ou erro nas derivadas, mas não consegui achar o resultado.

$\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2+x}-x$

Como estou estudando L'hospital, gostaria que se possível fosse resolvendo utilizando esse método.

Comece multiplicando e dividindo tudo por $\sqrt{x^2+x}+x$ .

$\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+x}-x = \lim_{x\to+\infty} \frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}{\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}$

$= \lim_{x\to+\infty} \frac{\left(\sqrt{x^2+x}\right)^2- x^2}{\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}$

$= \lim_{x\to+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$

Agora divida o numerador e o denominador por x:

$= \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+x}}{x}+1}$

$= \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+x}{x^2}}+1}$

Usando as propriedades de limites, temos que:

$= \frac{1}{\sqrt{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2+x}{x^2}}+1}$

Agora você pode usar a Regra de L'Hospital no limite que sobrou.

Vale lembrar que você também poderia resolver sem usar a regra de L'Hospital. Bastava continuar o desenvolvimento:

$\frac{1}{\sqrt{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2+x}{x^2}}+1} = \frac{1}{\sqrt{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} 1 + \frac{1}{x}}+1}$

$= \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{2}$

Limite indeterminado ? - ?

Limite indeterminado ? - ?

Limite indeterminado ? - ?

Re: Limite indeterminado ? - ?

Quem está online