[Limites] limites infinitos

por **xanda2012** » Qua Mai 02, 2012 11:30

Boa dia pessoal, estou com uma dúvida em limites infinitos, é o seguinte:
limite quando x-> infinito negativo de 2x + (raiz) 4x^2 + x ? o que devo fazer para eliminar a raiz e chegar ao resultado? Obrigada

por **LuizAquino** » Qua Mai 02, 2012 14:31

xanda2012 escreveu:Boa dia pessoal, estou com uma dúvida em limites infinitos, é o seguinte:
limite quando x-> infinito negativo de 2x + (raiz) 4x^2 + x ? o que devo fazer para eliminar a raiz e chegar ao resultado? Obrigada

Eu presumo que o limite seja:

$\lim_{x\to -\infty} 2x + \sqrt{4x^2 + x}$

Eu aproveito para pedir que você use o LaTeX para digitar as notações de forma adequada. Inclusive, isso está nas Regras do Fórum (vide a regra 2).

Para resolver esse limite, comece multiplicando e dividindo tudo por $2x - \sqrt{4x^2 + x}$ .

$\lim_{x\to -\infty} 2x + \sqrt{4x^2 + x} = \lim_{x\to -\infty} \frac{\left(2x + \sqrt{4x^2 + x}\right)\left(2x - \sqrt{4x^2 + x}\right)}{2x - \sqrt{4x^2 + x}}$

$= \lim_{x\to -\infty} \frac{(2x)^2 - \left(\sqrt{4x^2 + x}\right)^2}{2x - \sqrt{4x^2 + x}}$

$= \lim_{x\to -\infty} \frac{- x}{2x - \sqrt{4x^2 + x}}$

Agora divida o numerador e o denominador por -x.

$= \lim_{x\to -\infty} \frac{(- x):(-x)}{\left(2x - \sqrt{4x^2 + x}\right):(-x)}$

$= \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{-2 - \frac{\sqrt{4x^2 + x}}{-x}}$

$= \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{-2 - \sqrt{\frac{4x^2 + x}{(-x)^2}}}$

$= \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{-2 - \sqrt{4 + \frac{1}{x}}}$

$= \frac{1}{-2 - \sqrt{4 + 0}} = -\frac{1}{4}$

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