O limite existe?

por **Cleyson007** » Sáb Abr 28, 2012 17:00

Boa tarde a todos!

Sejam $f,g:X\,\subset\,\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ e $\overline{x}\in\mathbb{R}$ um ponto de acumulação de

.

a) Mostre que se ambos $\lim_{x\rightarrow \overline{x}}f$ $\lim_{x\rightarrow \overline{x}}\,(f+g)$ existem, então o $\lim_{x\rightarrow \overline{x}}\,g$ existe.

b) Se $\lim_{x\rightarrow \overline{x}}\,f$ $\lim_{x\rightarrow \overline{x}}\,f.g$ , segue que $\lim_{x\rightarrow \overline{x}}\,g$ existe?

Ficarei agradecido se alguém souber resolver e puder me ajudar.

Até mais.

por **LuizAquino** » Ter Mai 01, 2012 16:36

Cleyson007 escreveu:Sejam $f,g:X\,\subset\,\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ e $\overline{x}\in\mathbb{R}$ um ponto de acumulação de .

a) Mostre que se ambos $\lim_{x\rightarrow \overline{x}}f$ e $\lim_{x\rightarrow \overline{x}}\,(f+g)$ existem, então o $\lim_{x\rightarrow \overline{x}}\,g$ existe.

Considerando que os resultados desses limites sejam finitos, podemos escrever as hipóteses como:
(i) $\lim_{x\rightarrow \overline{x}} f(x) = L$ ;
(ii) $\lim_{x\rightarrow \overline{x}} f(x) + g(x) = M$ .

Essas hipóteses podem ser reescritas como:
(i) para todo $\varepsilon >0$ exite $\delta > 0$ tal que $0< |x - \bar{x}| <\delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$ ;
(ii) para todo $\varepsilon >0$ exite $\delta > 0$ tal que $0< |x - \bar{x}| <\delta \implies |f(x)+g(x) - M| < \varepsilon$ ;

Pela hipótese (i), dado o número $\frac{\varepsilon}{2}$ (com $\varepsilon > 0$ ), existe $\delta_1 > 0$ tal que $0< |x - \bar{x}| <\delta_1 \implies |f(x) - L| < \frac{\varepsilon}{2}$ .

Por outro lado, pela hipótese (ii), dado o número $\frac{\varepsilon}{2}$ (com $\varepsilon > 0$ ), existe $\delta_2 > 0$ tal que $0< |x - \bar{x}| <\delta_2 \implies |f(x)+g(x) - M| < \frac{\varepsilon}{2}$ .

Tomando $\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}$ , temos que:

$0< |x - \bar{x}| <\delta \implies \begin{cases} |f(x) - L| < \frac{\varepsilon}{2} \\ |f(x)+g(x) - M| < \frac{\varepsilon}{2} \end{cases}\implies \begin{cases} |-(L - f(x))| < \frac{\varepsilon}{2} \\ |f(x)+g(x) - M| < \frac{\varepsilon}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} |-1||L - f(x)| < \frac{\varepsilon}{2} \\ |f(x)+g(x) - M| < \frac{\varepsilon}{2} \end{cases}$

Somando as duas inequações, temos que:

$0< |x - \bar{x}| <\delta \implies |-1||L - f(x)| + |f(x)+g(x) - M| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}$

$0< |x - \bar{x}| <\delta \implies |L - f(x)| + |f(x)+g(x) - M| < \varepsilon$

Mas pela desigualdade triangular, temos que:

$|L - f(x)| + |f(x)+g(x) - M| \geq |(L - f(x)) + (f(x)+g(x) - M)| = |g(x) - (M - L)|$

Sendo assim, temos que:

$0< |x - \bar{x}| <\delta \implies |g(x) - (M - L)| < \varepsilon$

Desse modo, temos que $\lim_{x\to \bar{x}} g(x)$ existe e é igual a (M - L).

Agora analise os casos nos quais os resultados dos limites sejam infinitos.

Cleyson007 escreveu:b) Se $\lim_{x\rightarrow \overline{x}}\,f$ $\lim_{x\rightarrow \overline{x}}\,f.g$ , segue que $\lim_{x\rightarrow \overline{x}}\,g$ existe?

Suponha que f(x) = x e $g(x) = \frac{1}{x}$ . Note que $\lim_{x\to 0} f(x)$ e $\lim_{x\to 0} f(x)g(x)$ existem, mas $\lim_{x\to 0} g(x)$ não existe.

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