Exercício teórico

por **Cleyson007** » Sex Abr 27, 2012 12:28

Bom dia a todos!

Mostre que se $a\in(0,+\infty)$ temos $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1$

Se alguém puder me ajudar, agradeço.

Aguardo retorno.

por **fraol** » Sex Abr 27, 2012 13:04

Bom dia,

Presumo que a expressão seja: $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=1$

Veja que $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ .

O que acontece com o expoente $\frac{1}{n}$ quando n tende ao infinito?

Veja se consegue prosseguir, do contrário manda a dúvida pra cá.

por **Cleyson007** » Sáb Abr 28, 2012 10:58

Bom dia Fraol!

Amigo, sinceramente eu não tenho noção de como prosseguir.. Se puder me ajudar com a resolução do exercício ficarei muito grato.

Fico no aguardo.

por **fraol** » Sáb Abr 28, 2012 11:33

Bom dia,

Então vamos continuar:

fraol escreveu:O que acontece com o expoente $\frac{1}{n}$ quando n tende ao infinito?

Vamos atribuir alguns valores crescentes para

e ver como $\frac{1}{n}$ varia:

$n = 1 => \frac{1}{n} = 1$

$n = 10 => \frac{1}{n} = 0.1$

$n = 100 => \frac{1}{n} = 0.01$

$n = 1000 => \frac{1}{n} = 0.001$

$n = 10000 => \frac{1}{n} = 0.0001$

...

Note que ao aumentarmos o valor de n sucessivamente, o valor de $\frac{1}{n}$ se aproxima cada vez mais de

. Costuma se dizer que a sequência $\left( \frac{1}{n} \right)$ tende a

quando

tende ao infinito.

Agora aplicando isso ao limite original teremos:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a} = \lim_{n\rightarrow\infty} a^{\frac{1}{n}} = a^0 = 1$ .

.

por **Guill** » Sáb Abr 28, 2012 11:50

Esse limite não pode ser resolvido substituindo o valor, já que ${\infty}^{0}$ é uma indeterminação. Mas, observe que supondo:

$y = {n}^{\frac{1}{n}}$

$\lim_{n\rightarrow\infty}y = \lim_{n\rightarrow\infty}{n}^{\frac{1}{n}}$

$\lim_{n\rightarrow\infty}ln(y) = \lim_{n\rightarrow\infty}ln\left({n}^{\frac{1}{n}} \right)$

$\lim_{n\rightarrow\infty}ln(y) = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}.ln(n)$

$\lim_{n\rightarrow\infty}ln(y) = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{ln(n)}{n}$

Aplicando a regra de L'hospital:

$\lim_{n\rightarrow\infty}ln(y) = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n}}{1}=0$

Uma vez que $ln(y)\rightarrow0$ quando $n\rightarrow\infty$ , $y\rightarrow1$ quando $n\rightarrow\infty$ . Dessa forma:

$\lim_{n\rightarrow\infty}y = \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1$

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