relações trigonometricas

por **MERLAYNE** » Qui Abr 26, 2012 17:00

(Ufg 2006) Certas combinações entre as funções ${e}^{x}$ e ${e}^{-x}$ . (onde "e" é o número de Euler, x $\epsilon$ |R) surgem em diversas áreas, como Matemática, Engenharia e Física. O seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico são definidos por:

$senh \left(x \right) = \frac{\left({e}^{x} - {e}^{-x} \right)}{2}$ e $cosh \left(x \right) = \frac{\left({e}^{x} + {e}^{-x} \right)}{2}$

Então, ${cosh}^{2}\left(x \right) - {senh}^{2}\left(x \right)$ é igual a:

PS: NÃO SEI O QUE É COSSENO E SENO HIPERBOLICO

por **nakagumahissao** » Qui Abr 26, 2012 20:21

Em primeiro lugar, a definição de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico já foi dado no enunciado do problema. Agora, resolvendo-o, temos:

${cosh }^{2}(x) - {senh}^{2}(x) = \frac{({e}^{x} + {e}^{-x})^{2} }{4} + \frac{({e}^{x} - {e}^{-x})^{2} }{4}\Rightarrow$

$\Rightarrow {cosh}^{2}(x) - {senh}^{2}(x) = \frac{({e}^{2x} + 2 + {e}^{-2x}) }{4} + \frac{({e}^{2x} - 2 + {e}^{-2x}) }{4} \Rightarrow$

$\Rightarrow {cosh}^{2}(x) - {senh}^{2}(x) = \frac{(2{e}^{2x} + 2{e}^{-2x})}{4} = \frac{({e}^{2x} + {e}^{-2x})}{2}$

$\Rightarrow {cosh}^{2}(x) - {senh}^{2}(x) = \frac{({e}^{2x} + {e}^{-2x})}{2}$

por **DanielFerreira** » Qui Abr 26, 2012 20:27

nakagumahissao escreveu:Em primeiro lugar, a definição de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico já foi dado no enunciado do problema. Agora, resolvendo-o, temos:

${cosh }^{2}(x) - {senh}^{2}(x) = \frac{({e}^{x} + {e}^{-x})^{2} }{4} + \frac{({e}^{x} - {e}^{-x})^{2} }{4}\Rightarrow$

$\Rightarrow {cosh}^{2}(x) - {senh}^{2}(x) = \frac{({e}^{2x} + 2 + {e}^{-2x}) }{4} + \frac{({e}^{2x} - 2 + {e}^{-2x}) }{4} \Rightarrow$

$\Rightarrow {cosh}^{2}(x) - {senh}^{2}(x) = \frac{(2{e}^{2x} + 2{e}^{-2x})}{4} = \frac{({e}^{2x} + {e}^{-2x})}{2}$

$\Rightarrow {cosh}^{2}(x) - {senh}^{2}(x) = \frac{({e}^{2x} + {e}^{-2x})}{2}$

O sinal entre as frações é negativo!

por **nakagumahissao** » Qui Abr 26, 2012 20:53

Tem toda razão danjr., Obrigado.

Eis a resolução correta:

${cosh }^{2}(x) - {senh}^{2}(x) = \frac{({e}^{x} + {e}^{-x})^{2} }{4} - \frac{({e}^{x} - {e}^{-x})^{2} }{4}\Rightarrow$

$\Rightarrow {cosh}^{2}(x) - {senh}^{2}(x) = \frac{({e}^{2x} + 2 + {e}^{-2x}) }{4} - \frac{({e}^{2x} - 2 + {e}^{-2x}) }{4} \Rightarrow$

$\Rightarrow {cosh}^{2}(x) - {senh}^{2}(x) = 1$