Trapézio

por **Guilherme Carvalho** » Ter Abr 24, 2012 14:40

Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua medida é a média aritmética das medidas das bases.

por **Russman** » Ter Abr 24, 2012 18:18

Vamos construir um trapézio analiticamente, isto é, construir uma função que quando observado seu gráfico tenhamos a forma de um trapézio!

Seja f(x)

uma função definida da seguinte forma para o intervalo [0,c]

$f(x)=\left\{\begin{matrix} kx & , 0\leq x \leq a \\ r & , a < x \leq b \\ -kx + m &, b < x \leq c \end{matrix}\right.$

Os pontos médios dos lados adjacentes são calculados respectivamente por ${P}_{1}$ e ${P}_{2}$ :

${x}_{{P}_{1}} = \frac{0+a}{2} = \frac{a}{2}$
${y}_{{P}_{1}} = \frac{0+ka}{2} = \frac{ka}{2}$
${x}_{{P}_{2}} = \frac{b+c}{2}$
${y}_{{P}_{2}} = \frac{-kb+m +0}{2} =\frac{m-kb}{2}$ .

Agora temos de calcular a declividade da reta $g(x) = \varepsilon x+\alpha$ e mostrar que a mesma é nula, isto é, a reta que liga os pontos ${P}_{1}$ e ${P}_{2}$ é paralela ao eixo x onde se estende a base maior do trapézio. Identificando o sistema, temos

$\left\{\begin{matrix} \frac{m-kb}{2} = \varepsilon \frac{b+c}{2} + \alpha \\ \frac{ka}{2} = \varepsilon \frac{a}{2} + \alpha \end{matrix}\right.$

Observando-se que $r = ka = -kb +m \Rightarrow m = k(a+b)$ podemos simplificar o sistema para
$\left\{\begin{matrix} \frac{ka}{2} = \varepsilon \frac{b+c}{2} + \alpha \\ \frac{ka}{2} = \varepsilon \frac{a}{2} + \alpha \end{matrix}\right.$

de onde, após um processo algébrico, chega-se em $\varepsilon (b+c-a) = 0$ . Portanto, ou $\varepsilon\equiv 0$ ( identicamente 0, isto é, 0 para todo intervalo) ou b+c = a

. Como por hipótese a < b < c

e são todos positivos, a segunda alternativa é descartada. Assim, provamos que $\varepsilon = 0$ para quaisquer valores de a,b e c e , portanto, que a reta que liga os pontos médios é paralela as bases do trapézio.

por **Russman** » Ter Abr 24, 2012 19:11

Para calcular a medida da reta que liga os pontos médios usemos, por formalidade, a fórmula que calcula o comprimento de uma curva plana contínua para algum interválo e suficientemente diferenciável. Seja

o comprimento da curva f(x)

. Então:

$S = \int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{1+{f'}^{2}(x)}dx$ .

A função f(x)

é $f(x) = \alpha$ definida para o intevalo $[\frac{a}{2},\frac{b+c}{2}]$ . Assim, o comprimento

é portanto

$S = \int_{\frac{a}{2}}^{\frac{b+c}{2}}dx = \frac{b+c-a}{2}$ , uma vez que $\alpha$ é uma constante e sua derivada com relação a

é nula.

Veja, agora, que o comprimento da base maior é

e o da base menor é b-a

. Assim, a média aritimética entre eles é $\frac{b+c-a}{2}$ . Este valor é exatamente o comprimento da reta que liga os pontos médios. Portanto está demosntrado o enunciado.

por **LuizAquino** » Qui Abr 26, 2012 12:01

Guilherme Carvalho escreveu:Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua medida é a média aritmética das medidas das bases.

Russman escreveu:Vamos construir um trapézio analiticamente, isto é, construir uma função que quando observado seu gráfico tenhamos a forma de um trapézio!

Seja uma função definida da seguinte forma para o intervalo

$f(x)=\left\{\begin{matrix} kx & , 0\leq x \leq a \\ r & , a < x \leq b \\ -kx + m &, b < x \leq c \end{matrix}\right.$

Os pontos médios dos lados adjacentes são calculados respectivamente por ${P}_{1}$ e ${P}_{2}$ :

${x}_{{P}_{1}} = \frac{0+a}{2} = \frac{a}{2}$
${y}_{{P}_{1}} = \frac{0+ka}{2} = \frac{ka}{2}$
${x}_{{P}_{2}} = \frac{b+c}{2}$
${y}_{{P}_{2}} = \frac{-kb+m +0}{2} =\frac{m-kb}{2}$ .

Agora temos de calcular a declividade da reta $g(x) = \varepsilon x+\alpha$ e mostrar que a mesma é nula, isto é, a reta que liga os pontos ${P}_{1}$ e ${P}_{2}$ é paralela ao eixo x onde se estende a base maior do trapézio. Identificando o sistema, temos

$\left\{\begin{matrix} \frac{m-kb}{2} = \varepsilon \frac{b+c}{2} + \alpha \\ \frac{ka}{2} = \varepsilon \frac{a}{2} + \alpha \end{matrix}\right.$

Observando-se que $r = ka = -kb +m \Rightarrow m = k(a+b)$ podemos simplificar o sistema para
$\left\{\begin{matrix} \frac{ka}{2} = \varepsilon \frac{b+c}{2} + \alpha \\ \frac{ka}{2} = \varepsilon \frac{a}{2} + \alpha \end{matrix}\right.$

de onde, após um processo algébrico, chega-se em $\varepsilon (b+c-a) = 0$ . Portanto, ou $\varepsilon\equiv 0$ ( identicamente 0, isto é, 0 para todo intervalo) ou . Como por hipótese e são todos positivos, a segunda alternativa é descartada. Assim, provamos que $\varepsilon = 0$ para quaisquer valores de a,b e c e , portanto, que a reta que liga os pontos médios é paralela as bases do trapézio.

A ideia básica de sua demonstração (considerando o trapézio em $\mathbb{R}^2$ ) está ok. Mas na definição da função f, no intervalo (b, c], não necessariamente o coeficiente angular é -k.

Uma sugestão é montar a função considerando que os vértices do trapézio são A=(0, 0), B=(c, 0), C=(b, r) e D=(a, r), sendo que 0 < a < b < c e r > 0. Nesse caso, a função será:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{r}{a}x, & 0 \leq x \leq a \\ \\ r, & a < x \leq b \\ \\ \dfrac{r}{c-b}(c-x), & b < x \leq c \end{array}\right.$

Entretanto, note que para montar a função f você está considerando que os vértices do trapézio estão em $\mathbb{R}^2$ . Mas e se eles estiverem em $\mathbb{R}^3$ ?

Russman escreveu:Para calcular a medida da reta que liga os pontos médios usemos, por formalidade, a fórmula que calcula o comprimento de uma curva plana contínua para algum interválo e suficientemente diferenciável. Seja o comprimento da curva. Então:

$S = \int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{1+{f'}^{2}(x)}dx$ .

A função é $f(x) = \alpha$ definida para o intevalo $[\frac{a}{2},\frac{b+c}{2}]$ . Assim, o comprimento é portanto

$S = \int_{\frac{a}{2}}^{\frac{b+c}{2}}dx = \frac{b+c-a}{2}$ , uma vez que $\alpha$ é uma constante e sua derivada com relação a é nula.

Veja, agora, que o comprimento da base maior é e o da base menor é . Assim, a média aritimética entre eles é $\frac{b+c-a}{2}$ . Este valor é exatamente o comprimento da reta que liga os pontos médios. Portanto está demosntrado o enunciado.

Aqui você não precisa usar os conhecimentos de Cálculo. Você poderia usar apenas os conhecimentos sobre Geometria Analítica. Nesse caso, por exemplo, utilizar a fórmula para a distância entre pontos.

Vejamos agora uma demonstração usando apenas os conhecimentos de G. A..

A figura abaixo ilustra o trapézio ABCD, sendo M e N os pontos médios, respectivamente, de AD e BC.

: figura.png (2.42 KiB) Exibido 9226 vezes

Sabemos que:

$M = \frac{A+D}{2}$

$N = \frac{B+C}{2}$

Temos então que:

$\overrightarrow{MN} = N - M = \frac{B+C}{2} - \frac{A+D}{2} = \frac{B - A}{2} + \frac{C - D}{2} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$

Como $\overrightarrow{AB} // \overrightarrow{DC}$ , existe um escalar k (diferente de zero, pois $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{DC}$ não são vetores nulos), tal que $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{DC}$ .

Sendo assim, temos que:

$\overrightarrow{MN} = \left(\frac{k}{2} + \frac{1}{2}\right) \overrightarrow{DC}$

Como $\overrightarrow{MN} = m \overrightarrow{DC}$ , com $m = \frac{k}{2} + \frac{1}{2}$ , temos que $\overrightarrow{MN} // \overrightarrow{DC}$ . Já que também temos que $\overrightarrow{DC} // \overrightarrow{AB}$ , teremos então que $\overrightarrow{MN} // \overrightarrow{AB}$ .

Por outro lado, temos que:

$\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{DC} \implies \left\|\overrightarrow{AB}\right\| =\left\| k\overrightarrow{DC}\right\| \implies \frac{\left\|\overrightarrow{AB}\right\|}{\left\| \overrightarrow{DC}\right\|} = |k|$

Note que essa divisão não tem problema, pois os vetores não são nulos. Além disso, como esses vetores possuem o mesmo sentido (vide a figura), temos que k é positivo. Desse modo, podemos apenas escrever que:

$k = \frac{\left\|\overrightarrow{AB}\right\|}{\left\| \overrightarrow{DC}\right\|}$

Portanto, teremos que:

$\overrightarrow{MN} = \left(\frac{k}{2} + \frac{1}{2}\right) \overrightarrow{DC}$

$\left\|\overrightarrow{MN}\right\| = \left\|\left(\frac{\left\|\overrightarrow{AB}\right\|}{2\left\| \overrightarrow{DC}\right\|} + \frac{1}{2}\right) \overrightarrow{DC}\right\|$

$\left\|\overrightarrow{MN}\right\| = \left|\frac{\left\|\overrightarrow{AB}\right\| + \left\| \overrightarrow{DC}\right\|}{2\left\| \overrightarrow{DC}\right\|}\right| \left\|\overrightarrow{DC}\right\|$

Note que o numerador e o denominador da fração são escalares positivos. Portanto, podemos retirar o módulo "||" e ficar apenas com:

$\left\|\overrightarrow{MN}\right\| = \frac{\left\|\overrightarrow{AB}\right\| + \left\| \overrightarrow{DC}\right\|}{2\left\| \overrightarrow{DC}\right\|} \left\|\overrightarrow{DC}\right\|$

$\left\|\overrightarrow{MN}\right\| = \frac{\left\|\overrightarrow{AB}\right\| + \left\| \overrightarrow{DC}\right\|}{2}$

Observação: Note que toda a argumentação acima é válida não importando se os vértices A, B, C e D estão em $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$ .

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