Integral Iterada - Como resolver?

por **Cleyson007** » Qua Abr 18, 2012 16:44

Boa tarde a todos!

Calcule a integral iterada $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{cosx}y\,dydx$ e esboce a região de integração sobe a qual a integral é calculada.

Aguardo retorno.

por **DanielFerreira** » Qua Abr 18, 2012 21:26

o intervalo de y é: $0 \leq y \leq 1$

e o de x?
y = cos x

$x = cos^{- 1}y$

portanto,
$0 \leq x \leq arc cos y$

Daí,
$\int_{0}^{1}\int_{0}^{cos^{- 1}y}dxdy$

Se não errei nada é isso.
rsr

por **Cleyson007** » Qui Abr 19, 2012 11:13

Bom dia Danjr!

Vamos por partes, primeiro gostaria de entender a resolução da integral iterada em questão.

Obs.: Esqueci de postar, mas o gabarito da minha apostila diz que a resposta é $\frac{\pi}{8}$ .

Aguardo retorno.

por **DanielFerreira** » Sáb Abr 21, 2012 16:50

Cleyson007 escreveu:Bom dia Danjr!

Vamos por partes, primeiro gostaria de entender a resolução da integral iterada em questão.

Obs.: Esqueci de postar, mas o gabarito da minha apostila diz que a resposta é $\frac{\pi}{8}$ .

Aguardo retorno.

E aí cleyson, beleza?!
Desconsidere a 1ª solução/mensagem, pois entendi errado.

por **DanielFerreira** » Sáb Abr 21, 2012 17:00

continuando...
$\frac{1}{8}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(cos \beta + 1) d\beta =$

$\left[\frac{1}{8}\left(sen\beta + \beta \right) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =$

$\left[\frac{1}{8}\left(sen(2x) + 2x \right) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =$

$G(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{8}\left(sen\pi + \pi \right)$ ===========> $G(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{8}$

$G(0) = \frac{1}{8}\left(sen0 + 0 \right)$ ==================> G(0) = 0

Daí,
$G(\frac{\pi}{2}) - G(0) = \frac{\pi}{8}$

Espero ter ajudado!

Até breve.

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