trigonometria (Puc - SP)

por **Suellen** » Seg Abr 16, 2012 19:30

De um ponto A no solo, visam-se a base B e o topo C de um bastão colocado verticalmente no alto de uma colina, sob um ângulo de 30º e 45º, respectivamente. Se o bastão mede 4 m de comprimento, a altura da colina, em metros, é igual a:

$a)\sqrt[]{3} b)2 c)2\sqrt[]{3} d)2(\sqrt[]{3}+1) e)2(\sqrt[]{3}+3)$

a resposta é a letra d) só que eu quero saber como que resolve por favor?

por **fraol** » Ter Abr 17, 2012 22:04

Boa noite,

Segue figura ilustrativa:

: figura

Na figura temos: $tg 45^o = 1 = \frac{Altura}{Base} \iff Base = Altura$

Na figura temos: $tg 30^o = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{Altura - 4}{Base} \iff Base = (Altura - 4)\sqrt{3}$

Igualando as duas expressões temos:

$(Altura - 4)\sqrt{3} = Altura \iff Altura \sqrt{3} - 4\sqrt{3} = Altura \iff$

$Altura(\sqrt{3} - 1) = 4 \sqrt{3} \iff Altura = \frac{4 \sqrt{3}}{(\sqrt{3} - 1)} \iff$

$Altura = \frac{12 + 4 \sqrt{3}}{(3 - 1)} \iff Altura = \frac{12 + 4 \sqrt{3}}{2} Altura = 6 + 2 \sqrt{3}$

E finalmente:

$Altura = 2(\sqrt{3} + 3)}$

Veja que esse resultado não bate com o gabarito dado.

por **fraol** » Qua Abr 18, 2012 11:00

Boa dia,

Estive pensando sobre a divergência entre a solução que postei antes e o gabarito e cheguei a conclusão que interpretei erradamente o enunciado.

Na figura que apresentei você deve considerar o trecho DE como sendo a Altura da colina.

Alterando de acordo com a nova abordagem:

Na figura temos: $tg 45^o = 1 = \frac{Altura + 4}{Base} \iff Base = Altura + 4$

Na figura temos: $tg 30^o = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{Altura}{Base} \iff Base = (Altura)\sqrt{3}$

Igualando as duas expressões temos:

$(Altura)\sqrt{3} = Altura + 4 \iff Altura \sqrt{3} - Altura = 4 \iff$

$Altura(\sqrt{3} - 1) = 4 \iff Altura = \frac{4 }{(\sqrt{3} - 1)} \iff$

$Altura = \frac{ 4 (\sqrt{3} + 1}{(3 - 1)} \iff Altura = \frac{4 \sqrt{3} + 4 }{2} Altura = 2 + 2 \sqrt{3} = 2(\sqrt{3} + 1)$

Assim sendo o gabarito apresentado está correto.

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por **Suellen** » Qua Abr 25, 2012 20:23

obg pela resposta.
só não entendi as duas ultimas linhas da sua segunda resposta

por **fraol** » Qui Abr 26, 2012 15:40

Boa tarde vou adicionar os passos intermediários nas duas linhas finais, veja:

Na figura temos: $tg 45^o = 1 = \frac{Altura + 4}{Base} \iff Base = Altura + 4$

Na figura temos: $tg 30^o = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{Altura}{Base} \iff Base = (Altura)\sqrt{3}$

Igualando as duas expressões temos:

$(Altura)\sqrt{3} = Altura + 4 \iff Altura \sqrt{3} - Altura = 4 \iff$

$(Altura)\sqrt{3} - Altura = 4 \iff$ , agora colocaremos Altura em evidência

$Altura(\sqrt{3} - 1) = 4 \iff Altura = \frac{4 }{(\sqrt{3} - 1)} \iff$ , aqui levamos $(\sqrt{3} - 1)$ para o segundo membro com a operação inversa .

$Altura = \frac{4 }{(\sqrt{3} - 1)} . \frac{\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3} + 1)} \iff$ com esta multiplicação obtemos uma diferença de quadrados no denominador que tem como resultado o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo, assim:

$Altura = \frac{ 4 (\sqrt{3} + 1}{(3 - 1)} \iff$

$Altura = \frac{4 \sqrt{3} + 4 }{2}$ , neste passo efetuamos a multiplicação no numerador e a diferença no denominador.

$Altura = 2 + 2 \sqrt{3} =$ , aqui dividimos por 2 e

finalmente, colocamos o 2 em evidência e obtemos $Altura = 2(\sqrt{3} + 1)$ .

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