Bom preciso da resposta para hoje, já tentei várias coisas , mas não encaixou nada ainda.
"Se a, b e c fossem coplanares e não colineares então um desses vetores, por exemplo, b, seria combinação linear dos outros dois, isto é, existiriam escalares, não todos nulos, ?,? ? IR tais que (1) b= ?a + ?c. Assim, a equação (1) ficaria: (x + y ? )a + (y ? + z)c = 0
Se a e c fossem colineares, então a = ?c , ? ? 0, e a equação (2) ficaria:
(x? + y??)c + (y ? + z)c = 0
Onde x? + y?? + y ? + z = 0 ou z = - (x? + y?? + y ?), e a equação (1) teria uma solução não nula x, y ? IR, z = -(x? + y?? + y ?), contrariando novamente a hipótese.
Logo a e c não são colineares, e portanto são L.I.
Se na equação (2) um dos coeficientes fosse não nulo, por exemplo, se x + y? ? 0, teríamos: a = - (y ? + z )c/(x + y ?). a e c seriam L.D., absurdo.
Logo, os vetores a, b e c não podem ser coplanares e portanto são L.I.
Como provar isso ainda hoje
ja tentei fazer assim, mas vi que não iria para lugar nenhum :
Se o vetor b é combinação linear dos vetores a e c, sendo a = (-1,2,4), b = (-7,7,7) e c = (5,-3,1), então b = ?a + ?c, com , ? e ? escalares.
Onde (-7,7,7) = ? (-1,2,4) + ? (5,-3,1) (-7,7,7) = (-?,2?,4?) + (5 ?,-3 ?, ?)
de onde tiramos um sistema de 3 equações lineares: -7 = -? + 5 ? 7 = 2? - 3 ? 7 = 4? + ?
Se encontrarmos um valor de ? e um valor de ? que satisfaçam as três equações, então b = ? a + ?c , ou seja, b é combinação linear de a e c.
Escolhendo quaisquer 2 equações, determina-se ? e ?.
Usando a terceira equação para checar os valores. Encontramos que: ? = 2 ? = -1
7 = 2? - 3 ? * (-2) -7 = 7 ? 7 = 4? + ?
-14 = -4? +6 ? ? = -1
7 = 4? + ?
Substituindo o valor de ? em 7 = 4? + ?, temos:
7 = 4? -1
? = 8/4 = 2
Portanto, b é combinação linear de a e c.
Se a e c fossem colineares, então a = ?c , ? ? 0, temos:
(-?,2?,4?) = ?(5?,-3?,?)
(-?,2?,4?) = (5??,-3??,??)
5?? = -?
-3?? = 2?
?? = 4?
? = -2/5
? = 4/3
? = -8
Portanto são L.I.
a = - (y? + z )c/(x + y ?)
= - (5?,-3?, ?)/(-?,2?,4?)
= (5/2,3/4,1/8)
Portanto L.I.
o formatação aqui pode não sair boa, pq eu estava preparando para no powerpoint.
Vi que estava errado. E trravou =/ preciso de uma Luz ainda hoje , antes das 6 horas.
Desde já obrigado.
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