[PIF] Princípio de indução finita

por **Beckyh** » Qua Abr 11, 2012 06:45

Bom dia, gostaria que me ajudassem com meu problema de pif, eu simplesmente travo nas frações, a questão é a seguinte:
Se n E N*, mostre por indução que a seguinte fórmula é válida:

$\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{3.4.5}+ ... +\frac{1}{n.(n+1).(n+2)} = \frac{n.(n+3)}{4.(n+1).(n+2)}$

por **MarceloFantini** » Qua Abr 11, 2012 21:03

Para aplicar o princípio da indução finita precisamos inicialmente mostrar o caso n=1

. Mostre-nos como você fez isso.

por **Beckyh** » Qui Abr 12, 2012 00:21

para

Temos:

$\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{3.4.5}+ ... +\frac{1}{1.(1+1).(1+2)} = \frac{1.(1+3)}{4.(1+1).(1+2)} =$

$= \frac{1}{6} = \frac{4}{24} =\frac{1}{6}$ , tornando verdade p/n=1

.

Hipótese: $\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{3.4.5}+ ... +\frac{1}{k.(k+1).(k+2)} = \frac{k.(k+3)}{4.(k+1).(k+2)}$ , tomamos como verdade a hipótese e provamos para k+1.

Tese: $\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{3.4.5}+ ... +\frac{1}{k.(k+1).(k+2)} + \frac{1}{(k+1).(k+2).(k+3)} = \frac{(k+1)(k+4)}{4.(k+2).(k+3)}$