Prove se a afirmação é verdadeira

por **Well** » Dom Abr 01, 2012 18:14

Tentei provar por absurdo,porém não conseguir desenvolver a demonstração

A afirmação é esta

Se a é par e não é quadrado perfeito $\Rightarrow \sqrt[]{a}$ é irracional

Obrigado.

por **fraol** » Dom Abr 01, 2012 23:02

Boa noite,

Vou apresentar uma prova usando um raciocínio parecido com aquele que usamos quando provamos que $\sqrt{2}$ é irracional, vejam se vocês concordam:

Vamos assumir que $\sqrt{a}$ é racional, isto é

$\sqrt{a} = \frac{p}{q}$

com

e

inteiros positivos, $q \ne 0$ ,

e

primos entre si.

Como

é par, seja a = 2k

,

um número primo. Então

$\sqrt{a} = \frac{p}{q} \iff a = \frac{p^2}{q^2}$ , $q \ne 1$ pois

não é quadrado perfeito,

Disso temos p^2 = 2kq^2

então 2 divide p^2

logo 2 divide

.

Assim, seja p = 2s

, então

$(2s)^2 = 2kq^2 \iff$

2s^2 = kq^2

Vemos que 2 divide o primeiro membro da equação, então 2 divide o segundo membro também.
2 não divide

, pois assumimos

sendo um número primo. Então 2 deve dividir q^2

e portanto 2 divide

.

Temos então que 2 é um fator de

e 2 é um fator de

. Dessa forma

e

não são primos entre si, o que contradiz a nossa hipótese.

Logo $\sqrt{a}$ é irracional.

por **fraol** » Seg Abr 02, 2012 00:04

Pessoal,

Apesar de prosaica, quando redigi a prova, ela me parecia tão válida. Porém, relendo agora há pouco vi que tem uma hipótese que não está boa, aquela que supõe a = 2k, k um número primo.

Pois podemos ter, por exemplo, k = 9 que evidentemente não é primo.

Deveríamos considerar k como sendo um conjunto de fatores primos.

Mesmo assim vou pensar mais um pouco.

Sugestões?

por **fraol** » Seg Abr 02, 2012 14:42

Pessoal, quebrando a cabeça, olhando aqui e acolá encontrei uma nova forma de mostrar que a afirmação é verdadeira.

O método, como quase sempre, é por contradição.

Vamos supor que $\sqrt{a} = \frac{p}{q}$ sendo que $\frac{p}{q}$ é um número racional na forma de fração irredutível e portanto

é mínimo (o menor valor que satisfaz essa igualdade).

Assim aq^2 = p^2