Como terminar essa aplicação de limite?

por **samra** » Qui Mar 29, 2012 22:11

$\lim_{x->1}(5x+4)=9$
resolvendo fica assim ó:
|f(x)-L|< $\epsilon$ $\Leftrightarrow$ 0<|x-a|< $\delta$
|3x+1+5|< $\epsilon$
|3x+6|< $\epsilon$
3|x+2|< $\epsilon$

|x+2|< $\frac{\epsilon}{3}$

0<|x-a|< $\delta$
portanto:
$\delta$ = $\frac{\epsilon}{3}$

Depois disso, meu professor faz mais alguma coisa que ele chega numa conclusão qe
$\epsilon=\delta$ , e ele disse que só essa forma acima não está totalmente certo, pq ainda não foi provado que o limite existe, pois só é provado qdo $\epsilon=\delta$
alguem sabe como fazê-lo?
Se sim, coloke o passo a passo com explicação do jeito que eu consiga entender (ainda sou um pouco leiga em limites, principalmente na definição formal)
obg ^^

por **LuizAquino** » Sex Mar 30, 2012 19:40

samra escreveu: $\lim_{x->1}(5x+4)=9$

resolvendo fica assim ó:
|f(x)-L|< $\epsilon$ $\Leftrightarrow$ 0<|x-a|< $\delta$
|3x+1+5|< $\epsilon$
|3x+6|< $\epsilon$
3|x+2|< $\epsilon$

|x+2|< $\frac{\epsilon}{3}$

0<|x-a|< $\delta$
portanto:
$\delta$ = $\frac{\epsilon}{3}$

A sua resolução está errada.

Vejamos a definição formal de limite.

Dizemos que $\lim_{x\to c} f(x) = L$ quando temos que: dado $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $0 < |x - c| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$ .

No exercício, temos o limite:

$\lim_{x\to 1} 5x+4 = 9$

Precisamos então provar que: dado $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $0 < |x - 1| < \delta \Rightarrow |(5x + 4) - 9| < \varepsilon$ .

Começando pela segunda inequação, temos que:

$|(5x + 4) - 9| < \varepsilon$

$|5x - 5| < \varepsilon$

$5|x - 1| < \varepsilon$

$|x - 1| < \dfrac{\varepsilon}{5}$

Portanto, na definição formal devemos tomar $\delta = \frac{\varepsilon}{5}$ . Isto é, dado $\varepsilon > 0$ fazendo $\delta = \frac{\varepsilon}{5}$ temos que $0 < |x - 1| < \delta \Rightarrow |(5x + 4) - 9| < \varepsilon$ .

Vamos agora verificar que essa escolha de $\delta$ está correta. Ou seja, vamos verificar que para essa escolha temos que: $0 < |x - 1| < \delta \Rightarrow |(5x + 4) - 9| < \varepsilon$ .

$|x - 1| < \delta$

$|x - 1| < \dfrac{\varepsilon}{5}$

$5|x - 1| < \varepsilon$

$|5x - 5| < \varepsilon$

$|(5x + 4) - 9| < \varepsilon$

Com isso provamos que:

$\lim_{x\to 1} 5x + 4 = 9$

samra escreveu:Depois disso, meu professor faz mais alguma coisa que ele chega numa conclusão qe
$\epsilon=\delta$ , e ele disse que só essa forma acima não está totalmente certo, pq ainda não foi provado que o limite existe, pois só é provado qdo $\epsilon=\delta$

Você deve estar confundindo a explicação dada. No caso desse exercício que você enviou, não vamos obter que $\delta = \varepsilon$ .

por **samra** » Sex Mar 30, 2012 20:50

Nooh, descupa, eu postei errado o limite

é esse akió $\lim_{x\rightarrow -2} 3x+1=-5$

a resolução que eu fiz foi referente ao limite acima :(

se levado em consideração o $\lim_{x\rightarrow -2} 3x+1=-5$
minha resolução está certa ou não? :idea:

Obrigada!

por **fraol** » Sáb Mar 31, 2012 00:16

No caso dessa última função que você apresentou, seu

$\delta = \frac{\epsilon}{3}$

está correto. Contudo, a demonstração deveria seguir o modelo daquela apresentada acima pelo colega LuizAquino.