[limite] ajuda em lim trigonométrico

por **Fabio Wanderley** » Qui Mar 29, 2012 20:20

Segue:

$\lim_{x \to 0}\frac{sen(x^2 + \frac{1}{x}) - sen(\frac{1}{x})}{x}$

Peço uma dica... desde já agradeço!

por **LuizAquino** » Sex Mar 30, 2012 02:52

Fabio Wanderley escreveu:Segue:

$\lim_{x \to 0}\frac{sen(x^2 + \frac{1}{x}) - sen(\frac{1}{x})}{x}$

Peço uma dica... desde já agradeço!

Comece usando a seguinte identidade:

$\textrm{sen}\,(a + b) = \textrm{sen}\,a \cos b + \, \textrm{sen}\,b \cos a$

por **Fabio Wanderley** » Sex Mar 30, 2012 13:01

LuizAquino escreveu:
Fabio Wanderley escreveu:Segue:

$\lim_{x \to 0}\frac{sen(x^2 + \frac{1}{x}) - sen(\frac{1}{x})}{x}$

Peço uma dica... desde já agradeço!

Comece usando a seguinte identidade:

$\textrm{sen}\,(a + b) = \textrm{sen}\,a \cos b + \, \textrm{sen}\,b \cos a$

Olá, professor

Eu já havia tentado por essa identidade e ainda assim não vi uma saída:

$\lim_{x \to 0}\frac{sen(x^2).cos(\frac{1}{x})+sen(\frac{1}{x}).cos(x^2)-sen(\frac{1}{x})}{x}$

Como prosseguir? Ou o que devo mudar?

por **LuizAquino** » Sex Mar 30, 2012 15:26

Fabio Wanderley escreveu:Eu já havia tentado por essa identidade e ainda assim não vi uma saída:

$\lim_{x \to 0}\frac{sen(x^2).cos(\frac{1}{x})+sen(\frac{1}{x}).cos(x^2)-sen(\frac{1}{x})}{x}$

Como prosseguir? Ou o que devo mudar?

Coloque o termo $\,\textrm{sen}\,\frac{1}{x}$ em evidência:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x^2 \cos \frac{1}{x} + \left(\cos x^2 - 1\right)\,\textrm{sen}\, \frac{1}{x} }{x}$

Em seguida, separe o limite em dois:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x^2}{x} \cos \frac{1}{x} + \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x^2 - 1}{x}\,\textrm{sen}\, \frac{1}{x}$

Agora tente terminar o exercício.

Observação

Não confundir, por exemplo, $\textrm{sen}\,x^2$ com $\textrm{sen}^2\,x$ . Nós temos que:

(i) $\textrm{sen}\,x^2 = \textrm{sen}\,(x \cdot x)$

(ii) $\textrm{sen}^2\,x = \left(\textrm{sen}\,x \right)\cdot \left(\textrm{sen}\,x \right)$

por **Fabio Wanderley** » Sex Mar 30, 2012 17:16

LuizAquino escreveu:
Fabio Wanderley escreveu:Eu já havia tentado por essa identidade e ainda assim não vi uma saída:

$\lim_{x \to 0}\frac{sen(x^2).cos(\frac{1}{x})+sen(\frac{1}{x}).cos(x^2)-sen(\frac{1}{x})}{x}$

Como prosseguir? Ou o que devo mudar?

Coloque o termo $\,\textrm{sen}\,\frac{1}{x}$ em evidência:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x^2 \cos \frac{1}{x} + \left(\cos x^2 - 1\right)\,\textrm{sen}\, \frac{1}{x} }{x}$

Em seguida, separe o limite em dois:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x^2}{x} \cos \frac{1}{x} + \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x^2 - 1}{x}\,\textrm{sen}\, \frac{1}{x}$

Agora tente terminar o exercício.

Ainda não estou conseguindo...

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x^2}{x} \cos \frac{1}{x} + \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x^2 - 1}{x}\,\textrm{sen}\, \frac{1}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x}.\dfrac{\textrm{sen}\, x^2}{x} \cos \frac{1}{x} + \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x^2 - 1}{x}\,\textrm{sen}\, \frac{1}{x}$

$\lim_{x \to 0}x.\dfrac{\textrm{sen}\, x^2}{x^2} \cos \frac{1}{x} + \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x^2 - 1}{x}\,\textrm{sen}\, \frac{1}{x}$

Aqui eu notei que o primeiro limite é 0 (conclusão através do Teorema do Confronto). Mas não consegui sair da indeterminação do segundo limite...

por **LuizAquino** » Sex Mar 30, 2012 17:59

Fabio Wanderley escreveu:Ainda não estou conseguindo...

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\textrm{sen}\, x^2}{x} \cos \frac{1}{x} + \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x^2 - 1}{x}\,\textrm{sen}\, \frac{1}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x}.\dfrac{\textrm{sen}\, x^2}{x} \cos \frac{1}{x} + \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x^2 - 1}{x}\,\textrm{sen}\, \frac{1}{x}$

$\lim_{x \to 0}x.\dfrac{\textrm{sen}\, x^2}{x^2} \cos \frac{1}{x} + \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x^2 - 1}{x}\,\textrm{sen}\, \frac{1}{x}$

Aqui eu notei que o primeiro limite é 0 (conclusão através do Teorema do Confronto). Mas não consegui sair da indeterminação do segundo limite...

Você está correto sobre o primeiro limite.

Quanto ao segundo, você também vai usar o Teorema do Confronto.

Note o seguinte:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x^2 - 1}{x}\,\textrm{sen}\, \frac{1}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\left(\cos x^2 - 1\right)\left(\cos x^2 + 1\right)}{x\left(\cos x^2 + 1\right)}\,\textrm{sen}\, \frac{1}{x}$

$= \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos^2 x^2 - 1}{x\left(\cos x^2 + 1\right)}\,\textrm{sen}\, \frac{1}{x}$

$= \lim_{x \to 0} \dfrac{- \,\textrm{sen}^2\, x^2}{x\left(\cos x^2 + 1\right)}\,\textrm{sen}\, \frac{1}{x}$

Agora tente terminar o exercício.

Observação

Para qualquer ângulo $\alpha$ , sabemos que:

$\,\textrm{sen}^2 \, \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Em particular, para $\alpha = x^2$ , temos que:

$\,\textrm{sen}^2 \, x^2 + \cos^2 x^2 = 1$

por **Fabio Wanderley** » Sex Mar 30, 2012 18:29

Obrigado, professor!

Finalmente terminei. O segundo limite também é 0, logo o resultado é 0.

Eu não sabia sobre a relação informada na sua observação. Foi de grande ajuda tb!