[Cálculo] Introdução

por **Gabriel_DvT** » Sex Mar 30, 2012 11:22

Bom dia, gente. Em primeiro lugar, estou bem satisfeito de ter encontrado este forum por acaso. Espero tirar minhas duvidas aqui e conseguir ajudar ao máximo sobre aquilo que sei.

Bom, estou começando a estudar cálculo para o curso de engenharia de computação e estou fazendo isso praticamente por conta própria. Meu professor não é nada bom. No livro "Calculo A", tem um exemplo resolvido e me surgiu uma dúvida. Primeiramente, o exemplo é:

Usando a definição, provar que:

$lim_{x\to4} \left(x^2)=16$

A resolução é a seguinte:
Vamoso mostrar que, dado $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ , tal que:
$|x^2-16|<\varepsilon$ sempre que $0<|x-4|<\delta$
Da desigualdade que envolve $\varepsilon$ temos:
$|x^2-16|<\varepsilon$
$|x-4||x+4|<\varepsilon$
Necessitamos agora substituir |x+4| por um valor constante. Neste caso vamos supor $0<\delta<=1$ e então, de $0<|x-4|<\delta$ , seguem as seguintes desigualdades equivalentes: <--- (Eis a duvida 1): Por que fazer isso? Simplesmente não sei de onde ele tirou isso.

Continuando...
|x-4|<1

Portanto,

Escolhendo $\delta=min(\varepsilon/9,1)$ , temos que, se $|x-4|<\delta$ , então <---- Também não compreendi esse $\delta=min$
$|x^2-16|=|x-4||x+4|<\delta*9$

Espero que tenham paciencia pra me ajudar.
Fico grato desde já

por **LuizAquino** » Sex Mar 30, 2012 17:48

Gabriel_DvT escreveu:Usando a definição, provar que:

$lim_{x\to4} \left(x^2)=16$

Gabriel_DvT escreveu:A resolução é a seguinte:
Vamoso mostrar que, dado $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ , tal que:
$|x^2-16|<\varepsilon$ sempre que $0<|x-4|<\delta$
Da desigualdade que envolve $\varepsilon$ temos:
$|x^2-16|<\varepsilon$
$|x-4||x+4|<\varepsilon$
Necessitamos agora substituir |x+4| por um valor constante. Neste caso vamos supor $0<\delta<=1$ e então, de $0<|x-4|<\delta$ , seguem as seguintes desigualdades equivalentes: <--- (Eis a duvida 1): Por que fazer isso? Simplesmente não sei de onde ele tirou isso.

Você deseja analisar o que acontece quando x está próximo de 4. Nesse sentido, podemos nos concentrar apenas no intervalo 4 - 1 < x < 4 + 1. Também poderíamos, se quiséssemos, nos concentrar apenas no intervalo 4 - 1/2 < x < 4 + 1/2. Ou ainda, nos concentrar apenas no intervalo 4 - 1/4 < x < 4 + 1/4. Em resumo, escolhendo qualquer número $\delta$ tal que $0 < \delta \leq 1$ , podemos nos concentrar apenas no intervalo $4 - \delta < x < 4 + \delta$ .

Em particular, por simplicidade, vamos escolher nos concentrar no intervalo 4 - 1 < x < 4 + 1. Lembrando que pela definição de limites o x não precisa ser igual a 4, essa inequação é equivalente a 0 < |x - 4| < 1

. Ou seja, olhando para definição de limite, nós estamos escolhendo $\delta = 1$ .

Gabriel_DvT escreveu:Continuando...

Portanto,
Escolhendo $\delta=min(\varepsilon/9,1)$ , temos que, se $|x-4|<\delta$ , então <---- Também não compreendi esse $\delta=min$
$|x^2-16|=|x-4||x+4|<\delta*9$

Vamos agora somar 4 a ambas as partes da desigualdade 4 - 1 < x < 4 + 1. Desse modo, temos que 7 < x + 4 < 9. Note que o número x + 4 está no intervalo (7, 9). Isso significa que esse número é positivo e portanto podemos escrever que x + 4 = |x + 4| nesse intervalo. Desse modo, podemos dizer que |x + 4| < 9.

Fazendo então $0< |x - 4| < \frac{\varepsilon}{9}$ , note que podemos afirmar que:

$\left|x^2 - 16\right| = |x - 4||x + 4| < \frac{\varepsilon}{9}\cdot 9 = \varepsilon$

Lembrando da definição de limites, note que fazer $0< |x - 4| < \frac{\varepsilon}{9}$ significa que escolhemos $\delta = \frac{\varepsilon}{9}$ .

Ora, lembre-se também que antes tínhamos escolhido $\delta = 1$ .

Finalmente, vamos usar qual desses dois valores de $\delta$ ? Nós vamos usar o menor dos dois, isto é, vamos escolher $\delta = \min \left\{\frac{\varepsilon}{9},\,1\right\}$ (aqui a notação $\min \{a,\, b\}$ representa o menor dos dois valores a e b. Por exemplo, $\min \{1,\,2\} = 1$ ).

Mas por que escolher o menor dos dois? Escolhendo $\delta$ como o menor dos dois valores, vamos garantir que duas relações irão acontecer:

(i) |x + 4| < 9

;

(ii) $|x - 4| < \frac{\varepsilon}{9}$ .

Sendo assim, para essa escolha de $\delta$ podemos dizer que:

$0 < |x - 4| < \delta \Rightarrow \begin{cases} |x + 4| < 9 \\ \\ |x - 4| < \dfrac{\varepsilon}{9} \end{cases} \Rightarrow |x + 4|\cdot |x - 4| < \dfrac{\varepsilon}{9}\cdot 9 \Rightarrow \left|x^2 - 16\right| < \varepsilon$

Em resumo, provamos que dado um $\varepsilon > 0$ existe um $\delta > 0$ (que é definido como $\delta = \min \left\{\frac{\varepsilon}{9},\,1\right\}$ ) tal que:

$0 < |x - 4| < \delta \Rightarrow \left|x^2 - 16\right| < \varepsilon$

Mas isso é exatamente a definição formal para:

$\lim_{x\to 4} x^2 = 16$

Gabriel_DvT escreveu:Bom, estou começando a estudar cálculo para o curso de engenharia de computação e estou fazendo isso praticamente por conta própria.

Se você tiver interesse em assistir videoaulas sobre Cálculo, então eu gostaria de recomendar o meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

Eu espero que ele possa lhe ajudar em seus estudos.

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