Subespaços vetoriais

[ewald]

Oi estou com uma extrema dificuldade em um tipo de exercicio de subespaços vetoriais. O problema maior é que estava acostmado a exercicios em que o enunciado ja fornecia a 'cara' do vetor. Vou colocar a questao e depois eu falo mais sobre minhas duvidas.

6. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de C[-1 , 1].
(a) O conjunto das funções f em C[-1 , 1] tais f (-1) = f (1).
(b) O conjunto das funções ímpares em C[-1 , 1].
(c) O conjunto das funções não decrescentes em [-1 , 1].
(d) O conjunto das funções em f em C [-1 , 1] tais f (-1) = 0 e f (1) = 0.
(e) O conjunto das funções f em C [-1 , 1] tais f (-1) = 0 ou f (1) = 0.
[Retirado de Algebra Linear com Aplicaçoes de Steven J. Leon]

1º : Nao sei o que quer dizer o "C" de "C[-1 , 1]".
2º : O que seria "O espaço das funçoes f".
3º : Bem se nao for pedir de mais, poderiam, por favor, fazer uma das letras.

Para mim, este é o melhor metodo de se aprender uma materia vendo exercicios resolvidos. Normalmente os professores só dao teoremas e exemplos tao mediocres que ao inves de ajudar o aluno apenas iludem, fazem parecer que é tudo simples. Pra isso tem o livro. Professor, na minha opiniao deveria usar a maior parte da aula resolvendo exercicios considerados dificeis e mostrando, se possivel, as aplicaçoes. Bem é o que eu acho, aluno bom vai pra aula com a materia ja estudada (ou ao menos lida).

Obrigado.

[MarceloFantini]

O espaço é o espaço das [b]funções contínuas no intervalo [-1,1][/tex]. Ou seja, você considera todas as funções com a característica de serem contínuas neste intervalo. Por último, vou fazer apenas a primeira pois as outras seguem da mesma forma (até mesmo para contra-exemplos).

Sejam f e g funções no subespaço. Então . Pela propriedade, sabemos que toda função desse subespaço tem sua avaliação igual em -1 e 1. Daí, e . Assim, . Portanto, toda combinação linear de elementos pertence ao subespaço.

Por último, um comentário. Quanto mais se avança em matemática menos exemplos temos. Aprender não é fácil, pois requer esforço sozinho para criar seus próprios exemplos, entender um assunto, captar as informações sutis, interpretar resultados. Um professor que apenas resolve exercícios, difíceis ou não, não é um bom professor, pois não se aprende apenas com exemplos. Resolver problemas não é conhecer um milhão de casos parecidos, mas sim entender os conceitos e saber aplicá-los em situações diferentes das usuais. Alguém treinado apenas para repetir técnicas já vistas não tem conhecimento, é somente um autômato. O poder de teoremas gerais não é estudar o próprio caso geral, mas conseguir mais informações sobre um caso particular interessante. Afirmações gerais te ajudam a obter informações sobre casos particulares que são pertinentes a você, e esse entendimento te dá poder.
Quando você diz mostrar aplicações, seu ponto de vista é totalmente parcial. Álgebra linear tem inúmeras aplicações em análise real multidimensional, mecânica quântica, mecânica clássica, teoria da medida, equações diferenciais ordinárias, algumas partes das equações diferenciais parciais, pesquisa operacional, análise numérica, etc. Porém, este pode não ser o tipo de aplicação você mais gosta, visto que sua área parece ser engenharia elétrica. Álgebra em geral funciona como embasamento estrutural para trabalho em diversas áreas, então não espere algo como trabalhar num projeto e de repente, "Mas isso é um espaço vetorial! Haha, estou salvo!". Este começo é um pouco chato e não é onde você deve se estressar ainda. Seus valores virão quando aprender transformações lineares, autovalores e autovetores e depois produtos internos.

[ewald]

Muito obrigado por sua resposta, foi realmente muito esclarecedora. Quanto ao seu comentario (alias obrigado pela atençao e tempo), respeito seu ponto de vista e ate acredeito que seja o caminho certo. Um estudante deve saber resolver problemas ao inves de apenas seguir modelos, no entanto estou firme de que nao adianta um professor apenas fazer cinco, seis exercicios em sala, todos igualmente simples. Nao quero dizer que um professor deva mostrar todo tipo de exercicio, nao, ate porque seria impossivel, mas um professor deveria mostrar um exercicio mais complexo para mostrar um pouco o grau de dificuldade ou mesmo para motivar o aluno a tentar outros de mesmo grau e nao, por exemplo, mostrar que (x , y) / x+y = 0 é subespaço de R^2 (exemplo de maior dificuldade que me foi mostrado).

[MarceloFantini]

Dá a entender que quer exemplos de dificuldades variadas porém todos com o mesmo jeito dos que irá resolver.

[ewald]

Oi ja tinha feito um topico anterior, sobre uma questao de subespaços vetoriais. Bem eu tinha entedido a resposta que me deram mas meu professor disse que a resposta deveria ser feita de outra forma (mais completa, segundo ele).

Bem meu topico anterior foi o seguinte:

6. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de C[-1 , 1].
(a) O conjunto das funções f em C[-1 , 1] tais f (-1) = f (1).
(b) O conjunto das funções ímpares em C[-1 , 1].
(c) O conjunto das funções não decrescentes em [-1 , 1].
(d) O conjunto das funções em f em C [-1 , 1] tais f (-1) = 0 e f (1) = 0.
(e) O conjunto das funções f em C [-1 , 1] tais f (-1) = 0 ou f (1) = 0.
[Retirado de Algebra Linear com Aplicaçoes de Steven J. Leon]

E eu havia pedido para fazerem uma das alternativas como exemplo. Obtive como resposta do colaborador MarceloFantini (a proposito obrigado Marcelo, sempre ajuda bastante), o seguinte:

Sejam f e g funções no subespaço. Então . Pela propriedade, sabemos que toda função desse subespaço tem sua avaliação igual em -1 e 1. Daí, e . Assim, . Portanto, toda combinação linear de elementos pertence ao subespaço.

Bem meu professor disse que as propriedades deveriam ser mostradas separadamente. Ok, dito isso eu tentei mostrar as propriedades separadamente.

a)
A soma de dois vetores tem de estar no subespaço:
(g+h)(-1) = g(-1) + h(-1) [ sendo g e h dois vetores ou funçoes,melhor dizendo, no subespaço ]

como toda funçao no subesp. obedece: f(-1) = f(1)...
(g+h)(-1) = (g+h)(1)

g(-1) + h(-1) = g(1) + h(1)

g(-1) -g(1) = h(1) -h(-1)

0 = 0 (isso, eu creio prova a 1ª propr.)

A multiplicaçao de um vetor por um escalar tem de estar no subespaço:
(c.f)(-1) = c.( f(-1) )

como toda funçao no subesp. obedece: f(-1) = f(1)...
(c.f)(-1) = (c.f)(1)

c . f(-1) = c . f(1)

c . ( f(-1) - f(1) ) = 0

c . ( 0 ) = 0

0 = 0 (isso, eu creio prova a 2ª propr.)

Ta, se o que eu fiz esta certo, as 3 primeiras alternativas nao tive problemas (ja que sao parecidas). No entanto, as duas ultimas PRINCIPALMENTE a ultima eu nao soube muito o que fazer, tentei aplicar o mesmo esquema das primeiras, mas ficou muito estranho e parecia que eu estava so "copiando". Vou botar aqui embaixo a ultima como eu fiz:

1ª propr.:
(g+h)(-1) = 0 ou (g+h)(1) = 0

g(-1) + h(-1) = 0 ou g(1) + h(1) = 0

como nao se pode afirmar que ambas funçoes (f e g) sao iguais a 0 para x igual a -1 ou ambas iguais a zero para x igual a 1, nao pode-se afirmar que as somas estaram no subespaço.

Bem foi isso que eu fiz mas alem de estar bem estranha a resposta, ela nao ficou escrita em termos matematicos, como nrmalmente é pedido. É isso, se alguem tem uma dica pra mim ou se eu fiz algo errado.... por favor ajudam imensamente.

Obrigado!

[MarceloFantini]

Sua resposta está errada. Chegar que não prova nada. Veja o correto:

Seja . Tome . Então . Como estão em , teremos que e , logo , daí e portanto .

Vamos verificar agora multiplicação por escalar. Sejam e . Então , como a função pertence a segue , logo , portanto e isto prova que é subespaço.

Note que o que você tem que fazer é mostrar que se individualmente as funções satisfazem a propriedade, então a soma delas também satisfaz e igualmente para multiplicação por escalar. Assumir que é assumir o que você quer provar, um erro fatal.

Tente fazer as outras tendo em mente a forma de demonstração, caso seja subespaço.

[LuizAquino]

Seja . Tome . Então . Como estão em , teremos que e , logo , daí e portanto .

Vamos verificar agora multiplicação por escalar. Sejam e . Então , como a função pertence a segue , logo , portanto e isto prova que é subespaço.

Tipicamente nesses exercícios, a primeira propriedade que devemos provar é que o vetor nulo do espaço vetorial V pertence ao conjunto W que queremos verificar se é um subespaço de V. No caso desse exercício, o vetor nulo do espaço vetorial é a função n(x) = 0.

Propriedade 1) n(x) = 0 pertence a W.

Prova

Como n pertence a C[-1, 1] e n(-1) = n(1), temos que n atende as condições que definem os elementos do conjunto W. Desse modo, n pertence a W.

Observação

Sendo rigoroso, ao provar a propriedade referente ao produto por escalar, não haveria a necessidade de provar a propriedade referente ao vetor nulo. A propriedade referente ao produto por escalar é suficiente para garantir que a propriedade referente ao vetor nulo será válida. Entretanto, por questões didáticas sempre indicamos o caminho de primeiro provar a propriedade referente ao vetor nulo.