DUVIDA PROPRIEDADES MATRICIAIS

por **Guilherme Carvalho** » Ter Mar 27, 2012 22:51

1- Mostre que ${\left(A+B \right)}^{T}={A}^{T}+{B}^{T}$ e ${\left(AB \right)}^{T}={B}^{T}{A}^{T}$

2- Uma matriz B é dita simétrica quando ${B}^{T}=B$ . Mostre que A é B são simétricas e que A+kB é simétrica para todo k pertencente ao reais. Será AB simétrica?

por **LuizAquino** » Qua Mar 28, 2012 18:25

Guilherme Carvalho escreveu:1- Mostre que ${\left(A+B \right)}^{T}={A}^{T}+{B}^{T}$ e ${\left(AB \right)}^{T}={B}^{T}{A}^{T}$

Basta aplicar as definições para essas operações.

Lembre-se que dada uma matriz X, dizemos que $x_{ij}$ é o seu termo na posição da linha i e coluna j.

Temos então as seguintes definições.

1) Seja S = X + Y. Temos que $s_{ij} = x_{ij} + y_{ij}$ . (Aqui X e Y devem ser matrizes com mesma ordem).

2) Seja $\bar{X} = X^T$ . Temos que $\bar{x}_{ij} = x_{ji}$ .

3) Seja P = XY. Temos que: $p_{ij} = \sum_{k=1}^n x_{ik}y_{kj}$ . (Aqui o número de colunas de X deve ser igual ao número de linhas de Y. Estamos supondo que esse número é n).

Por exemplo, vejamos a prova para a primeira identidade.

Seja S = A + B. Temos que $s_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ .

Seja $\bar{S} = S^T$ . Temos que $\bar{s}_{ij} = s_{ji} = a_{ji} + b_{ji}$ .

Por outro lado, sejam $\bar{A} = A^T$ e $\bar{B} = B^T$ . Se R = A^T + B^T

, temos que $r_{ij} = \bar{a}_{ij} + \bar{b}_{ij}$ .

Lembrando que $\bar{a}_{ij} = a_{ji}$ e $\bar{b}_{ij} = b_{ji}$ , temos que $\bar{s}_{ij} = r_{ij}$ .

Conclusão: os termos da matriz (A+B)^T

são os mesmos da matriz A^T + B^T

. Isto é, temos que (A+B)^T = A^T + B^T

.

Agora tente provar a segunda identidade.

Guilherme Carvalho escreveu:2- Uma matriz B é dita simétrica quando ${B}^{T}=B$ . Mostre que A é B são simétricas e que A+kB é simétrica para todo k pertencente ao reais. Será AB simétrica?

Eu presumo que o texto original seja algo como:

2- Uma matriz B é dita simétrica quando ${B}^{T}=B$ . Mostre que se A e B são simétricas, então A+kB é simétrica para todo k pertencente ao reais. Será AB simétrica?

Aqui basta aplicar os resultados já provados no exercício 1). Mas tem um detalhe: você vai precisar provar que $(kB)^T = k\left(B^T\right)$ , com k um número real qualquer. Além disso, lembre-se de mais outro detalhe: a multiplicação de matrizes não é comutativa. Isto é, nem sempre é verdade que AB = BA.

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