Indução Finita - Elementos da sequência

por **Cleyson007** » Qui Mar 22, 2012 14:57

Boa tarde a todos!

Prove que todos os elementos da sequência 12, 102, 1002, 10002, ... são divisíveis por 6.

Obs.: Utilize o Princípio da Indução Finita.

Agradeço se alguém puder me ajudar.

Até mais.

por **fraol** » Qui Mar 22, 2012 19:12

A sequência, então, é assim:

10^1 + 2

,

,

,

,

O primeiro termo, 12, é divisível por 6.

A hipótese é de que 10^n + 2

é divisível por 6, isto é, 10^n+2 = 6p

( p um número natural).

Isso ajuda?

por **Cleyson007** » Qui Mar 22, 2012 22:57

Boa noite Fraol!

E como fica a condição de (n+1), não devemos prová-la?

Fico aguardando.

Até mais.

por **fraol** » Qui Mar 22, 2012 23:26

Boa noite Cleyson007,

Sim.

Um caminho possível seria esse: Assumir que $10^{n+1} + 2$ é, também, múltiplo de 6, isto é:

$10^{n+1}+2 = 6q$ , então $10.10^{n}+2 + 18 = 6q + 18 \iff 10.(10^{n}+2) = 6(q + 3)$ .

Agora, como diria um grande professor aqui do forum, é só terminar o exercício.

Abraço.