Ajuda na resolução de limite

por **harreb** » Qui Mar 22, 2012 06:42

Estou com dificuldade de resolver o limite abaixo:

Calcule, usando a definição

$f'({x}_{0}) = \lim_{x\rightarrow0} \frac{f(x) - f({x}_{0})}{x - {x}_{0}}$

a derivada

$f'(1), se f(x) = \frac{1}{x}$

por **joaofonseca** » Qui Mar 22, 2012 11:09

Antes de mais a expressão que apresentas traduz a definição de derivada num dado ponto. Neste caso x=0.

É verdade que quando se tenta comutar a expressão com os devidos valores, nos deparamos com a situação de $\frac{1}{0}$ .
Rapidamente paramos para pensar e reconhecemos uma daquelas funções elementares de cujo gráfico todos devemos de memorizar. Neste caso temos $f(x)=\frac{1}{x}$ .
Através de um simulador gráfico podemos vizualizar que esta função é continua em todos os pontos exeto em x=0. Logo se não é continua, não é diferenciavel. Não é continua porque os limites laterais quando $x \to 0$ não são iguais.
Para ser diferenciavel é necessário que seja continua e que o declive da reta tangente(derivada) seja igual, quer $x \to 0$ pela esquerda, quer $x \to 0$ pela direita.
Logo concluímos que está função não tem derivada em x=0.

Pela definição de derivada:

$f(x)'=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Obtemos:

$f(x)'=-\frac{1}{x^2}$ cujo o dominio é R\{0}.

por **harreb** » Sex Mar 23, 2012 06:43

Obrigado pela ajuda

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