[Trignometria] Equações

por **rola09** » Sex Mar 16, 2012 10:34

Bom dia,

Gostaria de ter uma ajuda no seguinte exercicio.

Considere a recta r de equação: $x - 1 / 2 = y - 3 / 3 \wedge\ z = 0$ e o ponto P (1,1,1).

- Indique um ponto da recta dada e um vector com a sua direcção.

- Determine as equações cartesianas da recta que contém P e é paralela á recta r.

- Escreva a equação do plano que contém P e é perpendicular a r.

- Determine a de forma que $\left(-1, -a, 1/2 \;a \right)$ seja ponto da recta.

Sei que é um pouco complicado responder a tudo, mas estou mesmo com algumas dificuldades em resolver isto e agradecia qualquer tipo de ajuda.

NOTA: não consegui descobrir como faço a fórmula de dividir. Na equação o 2 é denominador de x-1 e o 3 é denominador de y-3.

por **LuizAquino** » Sex Mar 16, 2012 14:13

rola09 escreveu:Considere a recta r de equação: $x - 1 / 2 = y - 3 / 3 \wedge\ z = 0$ e o ponto P (1,1,1).

rola09 escreveu:NOTA: não consegui descobrir como faço a fórmula de dividir. Na equação o 2 é denominador de x-1 e o 3 é denominador de y-3.

Basta usar o comando "\frac{}{}". Por exemplo, o código ficaria assim:

Código: Selecionar todos: [tex]\frac{x - 1}{2} = \frac{y-3}{3}[/tex]

O resultado desse código será:

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y-3}{3}$

rola09 escreveu:- Indique um ponto da recta dada e um vector com a sua direcção.

Primeiro, todos os pontos dessa reta tem coordenada z igual a 0.

Agora, atribua um valor para x e calcule qual será o valor de y.

Por exemplo, atribuindo x = 1, temos que y = 3.

Sendo assim, um ponto dessa reta é (1, 3, 0).

Para determinar um vetor com mesma direção de r, você precisa determinar outro ponto de r. Por exemplo, temos o ponto (3, 6, 0).

Desse modo, um vetor com mesma direção de r será dado por:

$\vec{u} = (3,\,6,\,0) - (1,\,3,\,0) = (2,\,3,\,0)$

rola09 escreveu:- Determine as equações cartesianas da recta que contém P e é paralela á recta r.

Não há "equação cartesiana" para uma reta que esteja no espaço. O que podemos exibir é uma equação paramétrica ou ainda uma equação vetorial.

Se a reta s é paralela à r, então ela possui o mesmo vetor diretor da reta r. Por exemplo, o vetor $\vec{u} = (2,\,3,\,0)$ é um vetor diretor de s.

Portanto, uma equação paramétrica para s será dada por:

$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 + 3t \\ z = 1 \end{cases}$

rola09 escreveu:- Escreva a equação do plano que contém P e é perpendicular a r.

Se a reta r é perpendicular ao plano $\pi$ , então o vetor diretor da reta r é um vetor normal do plano $\pi$ . Por exemplo, o vetor $\vec{u} = (2,\,3,\,0)$ é um vetor normal de $\pi$ .

Portanto, a equação do plano $\pi$ será dada por:

2(x - 1) + 3(y - 1) + 0(z -1) = 0

rola09 escreveu:- Determine a de forma que $\left(-1, -a, 1/2 \;a \right)$ seja ponto da recta.

Você já sabe que todos os pontos da reta r possuem coordenada z igual a 0.

Sendo assim, devemos ter $\frac{1}{2}a = 0$ . Ou seja, a = 0

.

Agora verifique que o ponto (-1, 0, 0) de fato pertence a reta r.

por **rola09** » Sáb Mar 17, 2012 11:33

Sr. LuizAquino,

Antes de mais o meu muito obrigado, pois foi muito útil a sua ajuda.
Ainda assim tenho uma dúvida na 2ª pergunta, pois pensava ser possível haver equações cartesianas da recta no espaço através de:
$\frac{x-a}{{\mu}_{1}}=\frac{y-b}{{\mu}_{2}}=\frac{z-c}{{\mu}_{3}}$

Só que não se aplica a este exercício porque ${\mu}_{3}\neq0$ certo?

E na última questão. Se a=0, não percebo como é que (-1,0,0) seja um ponto da recta.

por **MarceloFantini** » Sáb Mar 17, 2012 14:58

Se

então $(-1,-a, \frac{a}{2}) = \left( -1, -(0), \frac{0}{2} \right) = (-1, 0, 0)$ .

por **rola09** » Sáb Mar 17, 2012 15:16

MarceloFantini escreveu:Se então $(-1,-a, \frac{a}{2}) = \left( -1, -(0), \frac{0}{2} \right) = (-1, 0, 0)$ .

Parece-me lógico de mais a resposta a essa questão. Mas já vi que não consigo contrariar..eheh
Obrigado pela ajuda MarceloFantini.

por **LuizAquino** » Sáb Mar 17, 2012 21:47

rola09 escreveu:Antes de mais o meu muito obrigado, pois foi muito útil a sua ajuda.
Ainda assim tenho uma dúvida na 2ª pergunta, pois pensava ser possível haver equações cartesianas da recta no espaço através de:
$\frac{x-a}{{\mu}_{1}}=\frac{y-b}{{\mu}_{2}}=\frac{z-c}{{\mu}_{3}}$

Só que não se aplica a este exercício porque ${\mu}_{3}\neq0$ certo?

Eu presumo que você seja de Portugal, pois escreve palavras como "recta", "vector" e "direcção".

Pois bem. Na literatura brasileira, essas equações que você escreveu são chamadas de "equações simétricas". Mas ao que parece, na literatura portuguesa elas são chamadas de "equações cartesianas".

Na literatura brasileira, a "equação cartesiana da reta" é dada apenas para retas no plano, sendo que o formato dessa equação é:

ax + by + c = 0

No caso desse exercício as equações simétricas não podem ser escritas da forma tradicional, pois ${\mu}_{3} = 0$ (note que você escreveu errado, pois disse que ${\mu}_{3} \neq 0$ ) .

Colocamos então as equações simétricas no seguinte formato:

$\begin{cases} \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y-3}{3} \\ \\ z = 0 \end{cases}$

Ou ainda, podemos escrever como você colocou originalmente:

$\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y-3}{3} \, \land \, z = 0$

Nessa forma de escrita, usamos o símbolo $\land$ (que é o conectivo lógico de conjunção) para indicar que os pontos da reta atendem ao mesmo tempo as duas equações.

por **rola09** » Sáb Mar 17, 2012 22:46

Sim sou. Peço desculpa pela escrita mas ainda não me habituei ao novo acordo ortográfico.

Sim queria escrever ${\mu}_{3}=0$

Agora penso que percebi.
A equação "cartesiana" da reta que contém P e é paralela á recta r é:
$\begin{cases}\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}\\z=1\end{cases}$

por **LuizAquino** » Sáb Mar 17, 2012 22:56

rola09 escreveu:Agora penso que percebi.
A equação "cartesiana" da reta que contém P e é paralela á recta r é:
$\begin{cases}\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}\\z=1\end{cases}$

Usando a definição portuguesa, a resposta é sim.