[derivadas] regra da cadeia

por **emsbp** » Sex Mar 16, 2012 08:45

Bom dia.
O enunciado do exercício é: calcule a derivada total da seguinte função:
$u = \frac{{e}^{ax}(y-z)}{({a}^{2}+1)}$ , sendo y =a sen(x) e z= cos(x), com a constante. Está indicado como solução $\frac{du}{dx} = {e}^{ax}sen(x)$ .
No entanto, segundo a minha resolução, não consigo chegar ao resultado apresentado.
Segue agora como resolvi:

$\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}+\frac{du}{dz}\frac{dz}{dx}$ .
ora, $\frac{du}{dy} = \frac{{e}^{ax}}{({a}^{2}+1)}$
$\frac{dy}{dx} = a cos(x)$
$\frac{du}{dz}=\frac{-{e}^{ax}}{({a}^{2}+1)}$
$\frac{dz}{dx}=-sen(x)$
Logo, $\frac{du}{dx}=\frac{{e}^{ax}}{({a}^{2}+1)}acos(x)+\frac{{e}^{ax}}{({a}^{2}+1)}sen(x) = \frac{{e}^{ax}}{({a}^{2}+1)} (acos(x)+sen(x))$
Muito provavelmente, é necessário fazer simplificações e/ou substituições para chegar à solução dada, mas de momento não estou a ver como.
Peço ajuda.
Obrigado!

por **LuizAquino** » Sex Mar 16, 2012 12:15

emsbp escreveu:Calcule a derivada total da seguinte função:
$u = \frac{{e}^{ax}(y-z)}{({a}^{2}+1)}$ , sendo y =a sen(x) e z= cos(x), com a constante. Está indicado como solução $\frac{du}{dx} = {e}^{ax}sen(x)$ .

emsbp escreveu: No entanto, segundo a minha resolução, não consigo chegar ao resultado apresentado.
Segue agora como resolvi:

$\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}+\frac{du}{dz}\frac{dz}{dx}$ .

Aqui há um erro. Note que a função u depende de três variáveis: x, y e z. Além disso, temos que cada variável dessa depende de x. Ou seja, é como se tivéssemos x=f(x), y=g(x) e z=h(x).

Dessa forma, temos que:

$\dfrac{du}{dx} = \dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{d x}{d x} + \dfrac{\partial u}{\partial y}\dfrac{d y}{d x} + \dfrac{\partial u}{\partial z}\dfrac{d z}{d x}$

Agora efetue os cálculos e você obterá a reposta correta.