Análise Combinatória (Arranjo)

por **Anderson Alves** » Dom Mar 11, 2012 12:50

Ola pessoal.
Tenho dúvidas de como resolver estas questões relativa a análise combinatória.

1. Com os algarismos de 1 a 9, quantos números diferentes, sem elementos repetidos podemos formar maiores que 72 e menores que 1235?

2. Com os algarismos de 4 a 8, quantos números diferentes, sem elementos repetidos podemos formar maiores que 54 e menores que 746?

Ficarei grato pela ajuda

por **fraol** » Dom Mar 11, 2012 22:45

1. Com os algarismos de 1 a 9, quantos números diferentes, sem elementos repetidos podemos formar maiores que 72 e menores que 1235?

Aqui a gente tem o seguinte:

Números de 2 algarismos distintos entre 73 e 99 = 99 - 73 = 27, devemos excluir o 80 e o 90, então 25 números
Números de 3 algarismos distintos entre 100 e 999 = 999 - 100 = 900, devemos excluir os múltiplos de 10 que são 90, então 810 números
Números de 4 algarismos distintos entre 1000 e 1234 = 1234 - 1000 = 235, devemos excluir os múltiplos de 10 que são 16, então 219 números.

Somando tudo dá 25 + 810 + 219 = 1054.

2. Com os algarismos de 4 a 8, quantos números diferentes, sem elementos repetidos podemos formar maiores que 54 e menores que 746?

Aqui a gente tem o seguinte:

Números de 2 algarismos distintos começando com 5 = 4 números
Números de 2 algarismos distintos começando com 6 ou 7 ou 8 = 4 possibilidades cada ou seja 12 números.
Números de 3 algarismos distintos começando com 4 ou 5 ou 6 = 4 x 3 = 12 possibilidades cada ou seja 36 números.
Números de 3 algarismos distintos começando com 7 = 1 possibilidade ( 745 devido à restrição de ser menor que 746 e dos dígitos disponíveis ).

Somando tudo dá 53 números.

É isso.

por **fraol** » Dom Mar 11, 2012 23:05

Opa, depois que cliquei no enviar e, relendo, vi que ainda faltam excluir mais alguns números no primeiro caso.
Isto é, será necessário excluir outros números que contém 0, visto que a restrição é de dígitos entre 1 e 9.

Refazendo então:

Números de 2 algarismos distintos entre 73 e 99 = 99 - 73 = 27, devemos excluir o 80 e o 90, então 25 números
Números de 3 algarismos distintos entre 100 e 999 = 9 x 9 x 9 = 729 números
Números de 4 algarismos distintos entre 1000 e 1234: as possibilidades são:
números começando com 1 1 _ _ = 9 x 9 = 81 números
números começando com 1 2 1 _ = 9 números
números começando com 1 2 2 _ = 9 números
números começando com 1 2 3 _ = 4 números

Ok. Agora sim, basta somar para obter a resposta correta.

por **Anderson Alves** » Dom Mar 11, 2012 23:14

Pois é. Eu tenho como resposta outro valor: A Primeira = 527
A Segunda = 136

E destes valores é que eu não consegui chegar...
Desde, já valeu pela atenção
Continuaremos tentando....

por **fraol** » Seg Mar 12, 2012 09:58

Em problemas de contagem o erro mais comum que cometemos é contar menos casos dos que realmente existem.

Veja que, no primeiro caso, se pudéssemos incluir o 0, então teríamos 1162 números.
O resultado que você passou ( 527 ) é menor do que a metade de 1162 o que implicaria em dizer que há mais da metade desses números contendo o algarismo 0, o que não parece ser o caso.

De qualquer forma, vou revisar os exercícios e se tiver algo errado eu posto novamente.

Obrigado.

por **fraol** » Seg Mar 12, 2012 14:15

Agora, na hora do almoço, estive reavaliando o primeiro caso e constatei que minha tentativa ainda continha repetições, o que corrijo agora.

Veja o novo desenvolvimento:

Números de 2 algarismos distintos começando com 7 __ => 6 números ( não podemos usar o 0, 1, 2 e 7 ).
Números de 2 algarismos distintos começando com 8 __ => 8 números ( não podemos usar o 0 e 8 ).
Números de 2 algarismos distintos começando com 9 __ => 8 números ( não podemos usar o 0 e 9 ).
Números de 3 algarismos distintos entre 100 e 999: __ __ __ => 9 x 8 x 7 = 504 números

Até aqui temos 526 números distintos ( veja que, por exemplo: 89, 189, 289, ... pertencem ao grupo acima ).

Números de 4 algarismos distintos entre 1000 e 1234: as possibilidades são:

números começando com 1 1 __ __ = 8 x 7 = 56 mas não podemos contar pois tem 1 repetido, logo nenhum número.
números começando com 1 2 1 __ = 7 mas não podemos contar pois tem 1 repetido, logo nenhum número.
números começando com 1 2 2 __ = 7 mas não podemos usar pois tem 2 repetido, logo nenhum número.
números começando com 1 2 3 __ = 1 número ( 1234 ).

Com isso chega-se ao gabarito.

Creio que o segundo caso se resolva de forma análoga.

Grato.

por **Anderson Alves** » Seg Mar 12, 2012 23:02

Poxa, valeu mesmo pela ajuda.
A minha dúvida estava exatamente nessa parte: Números de 2 algarismos distintos começando com 7 __ => 6 números ( não podemos usar o 0, 1, 2 e 7 ).
Números de 2 algarismos distintos começando com 8 __ => 8 números ( não podemos usar o 0 e 8 ).
Números de 2 algarismos distintos começando com 9 __ => 8 números ( não podemos usar o 0 e 9 ).
De onde saia o nº 6 do lado do 7, o nº 8 do lado do 8 e o o nº 8 do lado do 9 para ser somado no final e chegar ao valor total de 527
Eu sabia que era um arranjo de 9 para 3, totalizando 504.

Valeu mesmo...
Caso tenha alguma dúvida de matemática, vamos trocar algumas idéias, pois poderei te ajudar também.

Obrigado

por **fraol** » Ter Mar 13, 2012 10:21

Ok. Obrigado.

por **Anderson Alves** » Ter Mar 13, 2012 14:12

Qual o racional não nulo cujo quadrado é igual a sua terça parte?

Resp.: Seja p/q, o racional, onde p e q são inteiros não nulos
(p/q)^2 = (1/3)*(p/q)
Dividindo por p/q, fica:
p/q = 1/3
Resposta: 1/3
Verificação
(p/q)^2 = (1/3)^2 = 1/9 = (1/3)*(1/3) = (1/3)*(p/q)