[Cálculo de integrais] invertendo ordem de integração

por **emsbp** » Sex Mar 09, 2012 12:24

Boa tarde.
Tenho dúvidas no seguinte exercício:

Calcule a integral dupla, invertendo a ordem de integração: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dx \int_{0}^{cos x} cosx dy$ . O resultado indicado no exercício é $\frac{\pi}{4}$ .
Comecei a resolver da seguinte forma:

Inverti a ordem, fazendo x= arccos (y) pois y =cos x.
Donde, penso que os novos intervalos de integração ficarão $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{ arccosy}$ . A minha primeira dúvida é se em relação a dy, o intervalo será $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ ou será de $\int_{0}^{1$ , tendo tem conta a inversão de ordem.

No entanto, prossegui a resolução com a ordem invertida $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{ arccosy}$ :
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sen (arccos y) dy$ .
Procedi à conversão de sen(arccos y) = $\sqrt[]{(1-{y}^{2})}$ .
Donde fiquei com $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt[]{1-{y}^{2}} dy$ .
De seguida, apliquei o método de substituição, onde y=sen (t) e y' = cos (t).
Assim, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {cos t}^{2} dt$ . Surge aqui minha outra dúvida: temos de alterar novamente o intervalo de integração a ordem a t? Ou fica à mesma de 0 a pi/2?
Mantendo o intervalo 0 a pi não consigo chegar ao resultado apresentado nas soluções.

Podem-me ajudar?
Obrigado!

por **MarceloFantini** » Sex Mar 09, 2012 20:02

Mantenha a ordem original. Como estamos integrando em y vemos que $\cos x$ é constante, logo o resultado será $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\cos x} \cos x \, dy \,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \int_0^{\cos x} dy \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, y \Bigg\vert_0^{\cos x} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx$ .

Agora deve ser fácil resolver.

por **emsbp** » Sáb Mar 10, 2012 18:35

Boa noite.
Obrigado pela sua ajuda. Mas o que quero mesmo é resolver a integral dupla invertendo a ordem. Se reparar, as minhas dúvidas são mesmo na inversão de ordem de integração.
Portanto, continuo com as mesmas dúvidas e, logo, a pedir ajuda na inversão de ordem.
Obrigado.

por **MarceloFantini** » Sáb Mar 10, 2012 20:56

Mas pode ser que inverter a ordem de integração faça com que ela torne-se mais difícil.

por **emsbp** » Dom Mar 11, 2012 21:12

Boa noite.
Sim,a dificuldade está aí e por isto mesmo é que me interessa resolvê-lo. Portanto, continuo a pedir ajuda a quem conseguir me explicar.

por **LuizAquino** » Ter Mar 13, 2012 12:41

emsbp escreveu:Calcule a integral dupla, invertendo a ordem de integração: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dx \int_{0}^{cos x} cosx dy$ .

Observação
A notação mais adequada seria:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\cos x} \cos x\,dy\,dx$

emsbp escreveu:Comecei a resolver da seguinte forma:

Inverti a ordem, fazendo x= arccos (y) pois y =cos x.
Donde, penso que os novos intervalos de integração ficarão $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\,\textrm{arccos}\, y}$ . A minha primeira dúvida é se em relação a dy, o intervalo será $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ ou será de $\int_{0}^{1}$ , tendo tem conta a inversão de ordem.

O correto seria:

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{\,\textrm{arccos}\, y} \cos x\,dx\,dy$

emsbp escreveu:No entanto, prossegui a resolução com a ordem invertida $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\,\textrm{arccos}\, y}$ :
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sen (arccos y) \,dy$ .

O correto seria:

$\int_{0}^{1}\, \textrm{sen}\,(\,\textrm{arccos}\, y) \,dy$

emsbp escreveu:Donde fiquei com $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-{y}^{2}} dy$ .

O correto seria:

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 - y^2}\,dy$

emsbp escreveu:De seguida, apliquei o método de substituição, onde y=sen (t) e y' = cos (t).
Assim, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {cos t}^{2} dt$ . Surge aqui minha outra dúvida: temos de alterar novamente o intervalo de integração a ordem a t? Ou fica à mesma de 0 a pi/2?
Mantendo o intervalo 0 a pi não consigo chegar ao resultado apresentado nas soluções.

Antes o intervalo de integração em y era [0, 1]. Como $y = \,\textrm{sen}\,t$ , para y = 0 temos que t = 0. Já para y = 1, temos que t = $\pi$ /2. Portanto, o correto seria:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t\,dt$

Ou seja, no final você obteve a integral certa, entretanto "atropelou" os intervalos de integração durante toda a resolução.

Lembrando agora da identidade trigonométrica $\cos^2 \alpha = \frac{1}{2}(1 + \cos 2\alpha)$ , temos que:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t\,dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 + \cos 2t\,dt$

Agora termine a partir daí.

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