Conjuntos - Prove que

por **Cleyson007** » Sex Mar 02, 2012 16:56

Boa tarde a todos!

Encontro muita dificuldade com exercícos que me pedem para "provar que ", mostrar que"...

Agora, deparei-me com uma questão de conjuntos desse tipo. Vejam:

Seja

um conjunto. Prove que $A-\phi=A$ e $\phi-A=\phi$ .

Obs.: Encontrei no LateX a letra grega phi, mas no problema refere-se ao conjunto vazio.

Alguém pode me orientar na resolução de problemas desse tipo?

Agradeço a atenção.

por **Rafael16** » Sex Mar 02, 2012 18:36

Antes de mais nada, um conjunto sempre vai ter como subconjunto um conjunto vazio

Outra coisa, quando temos, por exemplo, um conjunto A menos um conjunto B, isso quer dizer os elementos que tem no conjunto A mas que NÃO tem no conjunto B. Por exemplo:

A = {1,2,3}
B = {2,3}

A - B = {1}
pois são os elementos que tem em A mas que NÃOtem em B

A - VAZIO = A
isso porque os elementos que tem no conjunto A mas que NÃO tem no Conjunto Vazio é o proprio A
exemplo:

A = {1,2,3}
B = { }
A - B = {1,2,3} ou seja, o próprio A

VAZIO - A = VAZIO
Isso porque não tem nenhum elemento que tem no conjunto vazio que não tem no A, portanto vai ser o próprio VAZIO.
exemplo:
B = { }
A = {1,2,3}
B - A = { } Isso porque não tem nenhum elemento que tem em B mas que NÃO tem em A.

Acho que ficou um pouco redundante

Bom, acho que não provei nada, mas pelo menos acho que deu pra entender um pouco
Abraço!

por **MarceloFantini** » Sex Mar 02, 2012 19:06

O código em LaTeX é

Código: Selecionar todos: \emptyset

Sobre o problema, perceba que precisamos provar as seguintes inclusões:

$A - \emptyset \subset A$ ;
$A \subset A - \emptyset$ ;
$\emptyset - A \subset \emptyset$ ;
$\emptyset \subset \emptyset - A$ .

Note que a primeira e a quarta são imediatas, pois como o Rafael apontou o vazio é subconjunto de todo conjunto e obviamente o conjunto A retirando alguns elementos continua em A. Vamos às outras:

Seja

em A. Como o vazio não tem elementos, podemos escrevê-lo como