[Integral] indefinida

por **Aliocha Karamazov** » Qui Mar 01, 2012 20:30

Pessoal, travei numa integral que tem cara de simples, mas me enganou... Ei-la:

$\int \frac{1}{x^2lnx}dx$

Tentando por partes, fiz $u=\frac{1}{lnx} \Rightarrow du=-\frac{1}{x(lnx)^2}dx$ e $dv=\frac{1}{x^2}dx \Rightarrow v=-{1}{x}$

Fiz todos os passos da técnica de resolução por partes e cheguei a 0=0

. Alguém pode me ajudar?

por **MarceloFantini** » Qui Mar 01, 2012 21:35

Onde encontrou esta integral? Pelo Wolfram Alpha, ela não pode ser expressa por funções elementares:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... ln+x%29+dx

por **Aliocha Karamazov** » Qui Mar 01, 2012 22:01

Ela veio de uma equação diferencial.

por **MarceloFantini** » Qui Mar 01, 2012 22:16

Pode nos mostrar a equação diferencial?

por **Aliocha Karamazov** » Qui Mar 01, 2012 22:43

A equação é:

$ylnx\frac{dy}{dx}=\left(\frac{y+1}{x}\right)^2$

Essa equação diferencial leva àquela integral. No entanto, cometi um erro ao copiá-la do livro, pois a equação correta a ser resolvida é:

$ylnx\frac{dx}{dy}=\left(\frac{y+1}{x}\right)^2$

Essa é uma equação separável e resolvi sem problemas. Desculpe pelo erro. Mesmo assim, fiquei curioso a respeito daquela integral. Quando ela não pode ser escrita em funções elementares, não há nenhuma maneira de calculá-la? Se fosse uma integral definida, vinda de uma aplicação, seria possível fazer uma aproximação de seu resultado?

por **MarceloFantini** » Sex Mar 02, 2012 18:41

Provavelmente, mas não seria fácil. O Wolfram colocava-a em função de integrais estranhas.

por **LuizAquino** » Sáb Mar 03, 2012 00:46

Aliocha Karamazov escreveu:Quando ela não pode ser escrita em funções elementares, não há nenhuma maneira de calculá-la?

De forma analítica, não há.

Isso acontece com outras integrais.

Por exemplo, é o caso da seguinte integral:

$\int e^{-x^2} \,dx$

Essa integral não pode ser escrita por funções elementares.

Ela dá origem ao que definimos por Função erro.